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次の各問に答えよ.
(1)504の正の約数はいくつあるか求めよ.1と504自身も正の約数であることに注意せよ.
(2)504と自然数xとの最大公約数をg,最小公倍数をlとする.504の正の約数の個数をnとしたとき,gの正の約数の個数はn/3,lの正の約数の個数は9/2nであった.xの素因数が2,3,5,7であるとき,g,l,xの値を求めよ.
国立 大阪大学 2012年 第2問次の2つの条件\maru{1},\maru{2}をみたす自然数nについて考える.\\
\maru{1}nは素数ではない.\\
\maru{2}l,mを1でもnでもないnの正の約数とすると,必ず
|l-m|≦2
\qquadである.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)nが偶数のとき,\maru{1},\maru{2}をみたすnをすべて求めよ.
(2)nが7の倍数のとき,\maru{1},\maru{2}をみたすnをすべて求めよ.
(3)2≦n≦1000の範囲で,\maru{1},\maru{2}をみたすnをすべて求めよ.
国立 大阪大学 2012年 第2問次の2つの条件\maru{1},\maru{2}をみたす自然数nについて考える.\\
\maru{1}nは素数ではない.\\
\maru{2}l,mを1でもnでもないnの正の約数とすると,必ず
|l-m|≦2
\qquadである.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)nが偶数のとき,\maru{1},\maru{2}をみたすnをすべて求めよ.
(2)nが7の倍数のとき,\maru{1},\maru{2}をみたすnをすべて求めよ.
(3)2≦n≦1000の範囲で,\maru{1},\maru{2}をみたすnをすべて求めよ.
国立 東京工業大学 2012年 第2問次の問いに答えよ.
(1)log_{10}3=0.4771として,Σ_{n=0}^{99}3nの桁数を求めよ.
(2)実数aに対して,aを超えない最大の整数を[a]で表す.10000以下の正の整数nで[√n]がnの約数となるものは何個あるか.
私立 慶應義塾大学 2012年 第1問次の[]にあてはまる最も適当な数を記入せよ.
(1)20^{10}の正の約数は全部で[ア]個ある.
(2)2<loga900<6を満たすような2以上の自然数aは全部で[イ]個ある.
(3)整数の組(p,q)のうち,2次方程式x2-2px+13=0の解の1つがp+qiであるような組(p,q)は全部で[ウ]個ある.ただし,iは虚数単位とする.
(4)100以下の自然数mのうち,2次方程式x2-x-m=0の2つの解がともに整数であるようなmは全部で[エ]個ある.
(5)3次方程式x3-3x2・・・
私立 吉備国際大学 2012年 第1問次の()を埋めよ.
(1)x4-3x2y2+y4を因数分解すると(①)となる.
(2)1個のサイコロを5回投げるとき,素数の目がちょうど4回出る確率は(②)である.
(3)xの2次方程式(a-3)x2+2(a+3)x+a+5=0が実数解をもつとき,定数aの値の範囲は(③)である.
(4)360の正の約数の個数は(④),その総和は(⑤).
公立 大阪府立大学 2012年 第1問次の文章の[]に適する答えを記入せよ.\\
自然数28のすべての約数は1,2,4,7,14,28であり,その和は1+2+4+7+14+28=56=2×28となり,28の2倍である.このように,自然数mで,そのすべての約数の和が2mとなるようなmを完全数よ呼ぶ.以下,p,qは相異なる素数を表すとする.m=pqの形の自然数で完全数となるものを探そう.p,qが相異なる素数であるから,pqの約数は,[]の4つであり,その和が2pqと等しいから,([])([])=2となる.XY=2となる自然数X,Yは・・・
国立 高知大学 2011年 第4問nを自然数とし,θをcosθ=-1/3であるような実数とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)cos(n+1)x=2cosnxcosx-cos(n-1)xが成り立つことを示せ.
(2)cosnθは\frac{m}{3n}という形の分数で表されることを示せ.ただし,mは整数で|m|は3を約数にもたない.
(3)(2)を用いてθ/πは無理数であることを示せ.
国立 浜松医科大学 2011年 第4問次の問いに答えよ.
(1)3つの数2^{10}-1,3^{10}-1,4^{10}-1の積をy=(2^{10}-1)(3^{10}-1)(4^{10}-1)として,全体集合Uと部分集合A,Bを次のように定める.
\begin{array}{l}
U={x\;|\;x は y の正の約数 }\
A={x\;|\;x\inU かつ x は 44 の倍数 }\
B={x\;|\;x\inU かつ x は 45 の倍数 }
\end{array}
このとき,部分集合A∩\overline{B}に属する要素は,全部で何個あるか.
以下,数列an=4n-1(・・・
私立 早稲田大学 2011年 第1問[ア]~[エ]にあてはまる数または式を記入せよ.
(1)関数
f(x)=∫01|t2-x2|dt
の最小値は[ア]である.
(2)nを正の整数とする.10nの正の約数すべての積は[イ]である.
(3)log3nが無理数となる2011以下の正の整数nは,全部で[ウ]個ある.
(4)関数f(x)は,次の2つの条件を満たしている.
(5)すべての実数xに対して,f(3+x)=f(3-x)
\monxの値が,異なる5つの実数a1,a2,a3,a4,a5のときに限・・・