「約数」について

　私立 倉敷芸術科学大学 2011年 第4問

自然数1200について，次の設問に答えよ．
(1)素因数分解せよ．
(2)正の約数の個数を求めよ．
(3)正の約数の総和を求めよ．

　私立 倉敷芸術科学大学 2011年 第4問

自然数1200について，次の設問に答えよ．
(1)素因数分解せよ．
(2)正の約数の個数を求めよ．
(3)正の約数の総和を求めよ．

　私立 自治医科大学 2011年 第19問

72のすべての正の約数の個数をXとする．X/2の値を求めよ．

　私立 東北学院大学 2011年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)2160の正の約数は全部で何個あるか．またそれらの総和を求めよ．
(2)864の正の約数のうち，12の倍数または18の倍数であるものは全部で何個あるか．またそれらの総和を求めよ．

　私立 京都女子大学 2011年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)17028の正の約数は何個あるか．また，17028を2つの3桁の整数の積として表せ．
(2)放物線y=2x2+(k-2)x+2k+1と直線y=(1-k)x+k+3がただ1つの共有点を持つようにkの値を定めよ．
(3)実数x,yがx-y=x3-y3=√3およびx+y≧0を満たすとき，x+yとx3+y3の値を求めよ．

　国立 広島大学 2010年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)x,yが4で割ると1余る自然数ならば，積xyも4で割ると1余ることを証明せよ．
(2)0以上の偶数nに対して，3nを4で割ると1余ることを証明せよ．
(3)1以上の奇数nに対して，3nを4で割った余りが1でないことを証明せよ．
(4)mを0以上の整数とする．3^{2m}の正の約数のうち4で割ると1余る数全体の和をmを用いて表せ．

　国立 広島大学 2010年 第5問

4で割ると余りが1である自然数全体の集合をAとする．すなわち，
A={4k+1\;|\;k　は0以上の整数　}
とする．次の問いに答えよ．
(1)xおよびyがAに属するならば，その積xyもAに属することを証明せよ．
(2)0以上の偶数mに対して，3mはAに属することを証明せよ．
(3)m,nを0以上の整数とする．m+nが偶数ならば3m7nはAに属し，m+nが奇数ならば3m7nはAに属さないことを証明せよ．
(4)m,nを0以上の整数とする．3^{2m+1}7^{2n+1}の正の約数のうちAに属する数・・・

　国立 長崎大学 2010年 第7問

4次方程式の解について，次の問いに答えよ．ただし，次のことは既知としてよい．
\begin{screen}
自然数k,l,mが次の条件
\mon[(イ)]kとlは1以外の公約数をもたない
\mon[(ロ)]kはlmの約数である
を満たすならば，kはmの約数である．
\end{screen}
(1)a,b,c,dは整数で，d≠0とする．次の方程式
x4+ax3+bx2+cx+d=0
が有理数の解rをもつとき，|r|は自然数であり，かつ|d|の約数に限ることを証明せよ．
(2)次の方程式
2x4-2・・・

　国立 旭川医科大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)整数を係数とするn次方程式
f(x)=a0xn+a1x^{n-1}+a2x^{n-2}+・・・+a_{n-1}x+an=0
が有理数の解β/α（αとβは互いに素な整数とする）をもつとき，αはa0の約数でありβはanの約数であることを示せ．
(2)素数pに対して，
x+y+z=p/3,xy+yz+zx=1/p,xyz=\frac{1}{p3}
を満たすx,y,zがすべて正の有理数であるとき，pおよびx,y,zを求めよ．

　私立 早稲田大学 2010年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)自然数nがn=p2q（p,qは素数，p≠q）の形で表されるとき，nの正の約数は6個あり，それらの和は
([ク]+p+p2)([ケ]+q)
と表すことができる．このようなnで正の約数の和が2nとなるような数を求める．正の約数の和が2nであるから，
2p2q=([ク]+p+p2)([ケ]+q)
が成り立つ．[ク]+p+p2は奇数であり，pの倍数ではないから，[ケ]+qは2p2の倍数となり，
[ケ]+q=2p2k(k　は自然数　)
とおける．・・・