「級数」について

　国立 金沢大学 2015年 第4問

a＞1とする．無限等比級数
a+ax(1-ax)+ax2(1-ax)2+ax3(1-ax)3+・・・
が収束するとき，その和をS(x)とする．次の問いに答えよ．
(1)この無限等比級数が収束するような実数xの値の範囲を求めよ．また，そのときのS(x)を求めよ．
(2)xが(1)で求めた範囲を動くとき，S(x)のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)I(a)=∫0^{1/a}S(x)dxとおくとき，極限値\lim_{a→∞}I(a)を求めよ．

　私立 金沢工業大学 2015年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)実数xについて，等式
sinx-√3cosx=[ス]sin(x-\frac{π}{[セ]})
が成り立つ．
(2)0≦x＜2πを満たす実数xについて，無限等比級数
1+(sinx-√3cosx)+{(sinx-√3cosx)}2+{(sinx-√3cosx)}3+・・・
は\frac{π}{[ソ]}＜x＜\frac{π}{[タ]},\frac{[チ]}{[ツ]}π＜x＜\frac{[テ]}{[ト]}πで収束し，その和は
\frac{1}{1-[ナ]sin\・・・

　公立 広島市立大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)次の関数の導関数を求めよ．
(i)y=\frac{x}{1+x+x2}
(ii)y=(x2+2x)e^{-x}
(2)次の不定積分を求めよ．
(i)∫x2logxdx
(ii)∫\frac{cosx}{cos2x+2sinx-2}dx
(3)x＞0とする．無限等比級数
1+logx+(logx)2+・・・+(logx)n+・・・
が収・・・

　国立 宇都宮大学 2012年 第6問

関数y=e^{-x}のグラフをCとする．C上の点P(t,e^{-t})における接線とx軸との交点をQ(u,0)とする．C上の点(u,e^{-u})をRとするとき，次の問いに答えよ．
(1)uをtの式で表せ．
(2)線分PQ，線分QRとCで囲まれた部分を図形Aとする．図形Aをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vをtの式で表せ．
(3)(1)のuをtの関数とみてu(t)と表す．数列{tn}をt1=0,t_{n+1}=u(tn)(n=1,2,・・・)と定義するとき，一般項tnを求めよ．
(4)(2)のVをtの関数とみてV(t)・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)1枚の硬貨をくり返し投げるゲームを行う．このゲームを，表がちょうど4回出たところ，または，裏がちょうど4回出たところで終了することにする．ただし，硬貨を投げたとき，表が出る確率と裏が出る確率はいずれも1/2である．
(i)硬貨をk回投げたところで終了する確率をpkとすると，
p4=\frac{[ア]}{[イ]},p5=\frac{[ウ]}{[エ]},p7=\frac{[オ]}{[カ][キ]}
である・・・

　国立 宇都宮大学 2011年 第5問

座標平面上の直線y=mx(m＞0)をℓとする．点(1,0)をP1とし，P1からℓに下ろした垂線の足をQ1，Q1からx軸に下ろした垂線の足をP2とする．以下同様にPn(n=1,2,・・・)からℓに下ろした垂線の足をQn，Qnからx軸に下ろした垂線の足をP_{n+1}とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)△P1Q1P2の面積S1をmを用いて表せ．
(2)△PnQnP_{・・・

　国立 奈良教育大学 2011年 第1問

以下の設問に答えよ．
(1)初項a，公比rの無限等比級数は|r|＜1のとき収束し，その和が\frac{a}{1-r}となることを示せ．
(2)座標平面上で，動点Pが点(1,1)からx軸の負の向きに1だけ進み，次にy軸の負の向きに1/3だけ進み，次にx軸の負の向きに\frac{1}{32}だけ進み，次にy軸の負の向きに\frac{1}{33}だけ進む．以下，動点Pがこのような運動を続けるとき，動点Pが限りなく近づく点の座標を求めよ．

　国立 九州大学 2010年 第3問

xy平面上に曲線y=\frac{1}{x2}を描き，この曲線の第1象限内の部分をC1，第2象限内の部分をC2と呼ぶ．C1上の点P1(a,\frac{1}{a2})からC2に向けて接線を引き，C2との接点をQ1とする．次に点Q1からC1に向けて接線を引き，C1との接点をP2とする．次に点P2からC2に向けて接線を引き，接点をQ2とする．以下同様に続けて，C1上の点列PnとC2上の点列Qnを定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点Q1の座標を求めよ・・・