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rを0以上の整数とし，数列{an}を次のように定める．
a1=r,a2=r+1,a_{n+2}=a_{n+1}(an+1)(n=1,2,3,・・・)
また，素数pを1つとり，anをpで割った余りをbnとする．ただし，0をpで割った余りは0とする．
(1)自然数nに対し，b_{n+2}はb_{n+1}(bn+1)をpで割った余りと一致することを示せ．
(2)r=2,p=17の場合に，10以下のすべての自然数nに対して，bnを求めよ．
(3)ある2つの相異なる自然数n,mに対して，
b_{n+1}=b_{m+1}＞0,\qu・・・
国立 一橋大学 2014年 第1問a-b-8とb-c-8が素数となるような素数の組(a,b,c)をすべて求めよ．
国立 埼玉大学 2014年 第1問pを素数とする．以下の問いに答えよ．
(1)1≦r≦p-1を満たす自然数rに対し，\comb{p}{r}はpで割り切れることを示せ．ただし，\comb{p}{r}はp個からr個とる組合せの総数を表すものとする．
(2)1≦s≦q-1を満たす自然数の組(q,s)であって，\comb{q}{s}がqで割り切れないものを1組あげよ．
(3)自然数m,nに対し，(m+n)p-(mp+np)がpで割り切れることを示せ．
(4)自然数nに対し，np-nはpで割り切れることを，nに関する数学的帰納法を用いて証明せよ．・・・
国立 神戸大学 2014年 第2問m,n(m＜n)を自然数とし，
a=n2-m2,b=2mn,c=n2+m2
とおく．三辺の長さがa,b,cである三角形の内接円の半径をrとし，その三角形の面積をSとする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)a2+b2=c2を示せ．
(2)rをm,nを用いて表せ．
(3)rが素数のときに，Sをrを用いて表せ．
(4)rが素数のときに，Sが6で割り切れることを示せ．
国立 神戸大学 2014年 第2問m,n(m＜n)を自然数とし，
a=n2-m2,b=2mn,c=n2+m2
とおく．三辺の長さがa,b,cである三角形の内接円の半径をrとし，その三角形の面積をSとする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)a2+b2=c2を示せ．
(2)rをm,nを用いて表せ．
(3)rが素数のときに，Sをrを用いて表せ．
(4)rが素数のときに，Sが6で割り切れることを示せ．
国立 千葉大学 2014年 第3問pは奇数である素数とし，N=(p+1)(p+3)(p+5)とおく．
(1)Nは48の倍数であることを示せ．
(2)Nが144の倍数になるようなpの値を，小さい順に5つ求めよ．
国立 福島大学 2014年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)0≦θ＜2πのとき，次の方程式を解きなさい．
sinθ+√3cosθ=-1
(2)次の関数を微分しなさい．
y=log(x2+2x+1)
(3)次の不定積分を求めなさい．
∫\frac{2x2}{x3+1}dx
(4)2個のサイコロを同時に投げる．このとき，出た目の和が素数となる確率を求めなさい．
国立 滋賀医科大学 2014年 第1問さいころをn回（n≧1）投げて，出た目の最小公倍数をlとするとき，次の確率を求めよ．
(1)2と3の少なくとも一方が一度も出ない確率
(2)lが素数となる確率
(3)lが出た目の一つに等しい確率
国立 富山大学 2014年 第2問pを素数とするとき，次の問いに答えよ．
(1)自然数kが1≦k≦p-1を満たすとき，\comb{p}{k}はpで割り切れることを示せ．ただし，\comb{p}{k}はp個のものからk個取った組合せの総数である．
(2)nを自然数とするとき，nに関する数学的帰納法を用いて，np-nはpで割り切れることを示せ．
(3)nがpの倍数でないとき，n^{p-1}-1はpで割り切れることを示せ．
国立 徳島大学 2014年 第4問pを素数とする．初項，公差がともに5pの等差数列を{an}とする．数列{bn}は公差がpの等差数列でΣ_{n=1}pan=a1+ap+5Σ_{n=1}pbnを満たす．
(1)b1を求めよ．
(2)p=2のとき，\frac{an}{bn}の値が自然数となるようなnをすべて求めよ．
(3)p≧3とする．\frac{an}{bn}の値が自然数となるようなpとnの組(p,n)をすべて求めよ．
