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pは奇数である素数とし，N=(p+1)(p+3)(p+5)とおく．
(1)Nは48の倍数であることを示せ．
(2)Nが144の倍数になるようなpの値を，小さい順に5つ求めよ．
私立 東北工業大学 2014年 第3問次の問いに答えよ．
(1)\sqrt[3]{a4}×a4×\sqrt[6]{a2}\div(a\sqrt[3]{a2})=a^{[ナ][ニ]}
(2)log3108-3log94+2log96=[ヌ][ネ]
(3)2個のさいころを同時に投げるとき，目の和が素数になる確率は\frac{[ノ][ハ]}{12}である．
(4)等比数列{an}の第3項は12，第6項は96である．この数列の初項から第n項までの和が765になった．このときn=[ヒ][フ]である．
(5)平面上の2つのベクトルベクトルa=(4,2)・・・
私立 近畿大学 2014年 第3問一般項が
an=\frac{1}{\sqrt{13}}{(\frac{1+\sqrt{13}}{2})n-(\frac{1-\sqrt{13}}{2})n}
で与えられた数列{an}を考える．
(1)この数列の初項a1の値は[ア]，第2項a2の値は[イ]である．
(2)この数列は，漸化式a_{n+2}=a_{n+1}+[ウ]an(n=1,2,3,・・・)を満たす．
(3)この数列の第7項a7の値は[エオ]である．
(4)この数列の初項から第n項までの和をSnで表す．このとき
a_{n+2}=[カ]+\ka・・・
私立 早稲田大学 2014年 第4問x,yを自然数，pを3以上の素数とするとき，次の各問に答えよ．ただし，(1)，(3)は答のみ解答欄に記入せよ．
(1)x2-y2=pが成り立つとき，x,yをpで表せ．
(2)x3-y3=pが成り立つとき，pを6で割った余りが1となることを証明せよ．
(3)x3-y3=pが自然数の解の組(x,y)をもつようなpを，小さい数から順にp1，p2，p3，・・・とするとき，p5の値を求めよ．
私立 吉備国際大学 2014年 第2問正二十面体のサイコロを考える．各面に1から20までの整数が一つずつ書いてある．
(1)このサイコロを1回ふるとき，出る目の数が素数である確率を求めよ．
(2)このサイコロを1回ふるとき，出る目の数が3の倍数である確率を求めよ．
(3)このようなサイコロを2回ふるとき，出る目の数の積が3の倍数であって9の倍数でない確率を求めよ．
私立 杏林大学 2014年 第1問[シ]の解答は解答群の中から最も適当なものを1つ選べ．
nを100以下の自然数とし，nの約数の個数をf(n)，空集合を\phiとする．
(1)f(48)=[アイ]であり，f(n)=9を満たす最小の自然数はn=[ウエ]である．f(n)=5を満たすnの個数は[オ]個であり，f(n)=6を満たすnの個数は[カキ]個である．
(2)f(n)の最大値は[クケ]である．したがって，f(f(n))＞4を満たす最小の自然数はn=[コサ]となる．
(3)f(n)=2を満たす100以・・・
私立 北里大学 2014年 第3問1個のさいころを4回投げるとする．
(1)出る目の積が2で割り切れる確率は[キ]である．
(2)出る目の積が素数になる確率は[ク]である．
(3)出る目の積が12になる確率は[ケ]である．
国立 京都大学 2013年 第3問nを自然数とし，整式xnを整式x2-2x-1で割った余りをax+bとする．このときaとbは整数であり，さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ．
国立 京都大学 2013年 第3問nとkを自然数とし，整式xnを整式(x-k)(x-k-1)で割った余りをax+bとする．
(1)aとbは整式であることを示せ．
(2)aとbをともに割り切る素数は存在しないことを示せ．
国立 名古屋大学 2013年 第3問k,m,nは整数とし，n≧1とする．\comb{m}{k}を二項係数として，Sk(n),Tm(n)を以下のように定める．
\begin{align}
&Sk(n)=1k+2k+3k+・・・+nk,Sk(1)=1(k≧0)\nonumber\\
&Tm(n)=\comb{m}{1}S1(n)+\comb{m}{2}S2(n)+\comb{m}{3}S3(n)+・・・+\comb{m}{m-1}S_{m-1}(n)\nonumber\\
&\phantom{Tm(n)}=Σ_{k=1}^{m-1}\comb{m}{k}Sk(n)(m≧2)\nonumber
\end{align}
(1)Tm(1)とTm(2)を求めよ．
(2)一般のnに対してTm(n)を求めよ．
(3)・・・
