「素数」について

　国立 大阪大学 2013年 第3問

4個の整数
n+1,n3+3,n5+5,n7+7
がすべて素数となるような正の整数nは存在しない．これを証明せよ．

　国立 名古屋大学 2013年 第3問

k,m,nは整数とし，n≧1とする．\comb{m}{k}を二項係数として，Sk(n),Tm(n)を以下のように定める．
\begin{align}
&Sk(n)=1k+2k+3k+・・・+nk,Sk(1)=1(k≧0)\nonumber\\
&Tm(n)=\comb{m}{1}S1(n)+\comb{m}{2}S2(n)+\comb{m}{3}S3(n)+・・・+\comb{m}{m-1}S_{m-1}(n)\nonumber\\
&\phantom{Tm(n)}=Σ_{k=1}^{m-1}\comb{m}{k}Sk(n)(m≧2)\nonumber
\end{align}
(1)Tm(1)とTm(2)を求めよ．
(2)一般のnに対してTm(n)を求めよ．
(3)・・・

　国立 奈良女子大学 2013年 第4問

a,dを正の整数とする．x1=a,x2=a+d,x3=a+2d,x4=a+3dとおく．x1,x2,x3,x4がすべて素数であるとき，次の問いに答えよ．
(1)aは奇数であることを示せ．また，dは偶数であることを示せ．
(2)dは3の倍数であることを示せ．
(3)x3=67であるとき，a,dの値を求めよ．

　私立 沖縄国際大学 2013年 第3問

以下の各問いに答えなさい．
(1)次の命題(i)～\tokeijyuの真偽を書きなさい．
(i)自然数ならば偶数である．
(ii)食べ物ならば果物である．
(iii)人間でないならば動物ではない．
\mon[\tokeishi]整数ならば実数である．
\mon[\tokeigo]|2x2-5x-3|＞0ならばx≠3である．
\mon[\tokeiroku]x2=9ならばx=3である．
\mon[\tokeishichi]2の倍数ならば4の倍数である．
\mon[\tokeihachi]x+y＞0ならばx＞0かつy＞0・・・

　私立 聖マリアンナ医科大学 2013年 第4問

以下の命題が真であれば証明し，偽であれば反例をあげて偽であることを説明しなさい．
(1)pを，4で割ると3余る素数とする．このとき，2p+1は3の倍数であるか，または素数である．
(2)行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})の成分と，Aの逆行列A^{-1}の成分がすべて整数であるとする．このとき，|ad-bc|=1である．

　私立 早稲田大学 2013年 第1問

次の問に答えよ．
(1)2つのサイコロを同時にふるとき，出た目の和がnである確率をPnとする．自然数n(2≦n≦12)に対して
Pn=\frac{[ア]-|n-[イ|]}{[ウ]}
である．
(2)整数p,qに対して，多項式
f(x)=2x4+(p+2q)x3+(pq+4)x2+(2p+2)x+p
を考える．f(0)，f(1)，f(2)がすべて素数のとき，p=[エ]，q=[オ]である．

　私立 早稲田大学 2013年 第1問

[ア]～[オ]にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)どのような2次関数f(x)に対しても
∫02f(x)dx
の値は，f(0)，f(1)，f(2)を用いて[ア]と表せる．
(2)kを実数とする．xy平面上の直線y-2=k(x-1)と放物線y=x2によって囲まれる図形の面積は，k=[イ]のとき最小値[ウ]をとる．
(3)pを5以上の素数とする．p3をp-4で割った余りが4であるとき，p=[エ]である．
(4)Σ_{n=1}^{2013}\frac{sin・・・

　公立 鳥取環境大学 2013年 第5問

以下の問に答えよ．
(1)次の(i)～(iii)の文章が命題であれば真偽を答えよ．また真の場合は理由を示し，偽の場合は反例を示せ．命題でない場合は「命題でない」と答えよ．
(i)xが整数ならばx2≧0である．
(ii)nが2以上の整数であるとき2n-1はすべて素数である．
(iii)数学は美しい．
(2)次の(i)～\tokeigoの[]の中に，必要条件であるが十分条件でない，十分条件であるが必要条件でない・・・

　国立 大阪大学 2012年 第2問

次の2つの条件\maru{1},\maru{2}をみたす自然数nについて考える．\\
\maru{1}nは素数ではない．\\
\maru{2}l,mを1でもnでもないnの正の約数とすると，必ず
|l-m|≦2
\qquadである．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)nが偶数のとき，\maru{1},\maru{2}をみたすnをすべて求めよ．
(2)nが7の倍数のとき，\maru{1},\maru{2}をみたすnをすべて求めよ．
(3)2≦n≦1000の範囲で，\maru{1},\maru{2}をみたすnをすべて求めよ．

　国立 大阪大学 2012年 第2問

次の2つの条件\maru{1},\maru{2}をみたす自然数nについて考える．\\
\maru{1}nは素数ではない．\\
\maru{2}l,mを1でもnでもないnの正の約数とすると，必ず
|l-m|≦2
\qquadである．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)nが偶数のとき，\maru{1},\maru{2}をみたすnをすべて求めよ．
(2)nが7の倍数のとき，\maru{1},\maru{2}をみたすnをすべて求めよ．
(3)2≦n≦1000の範囲で，\maru{1},\maru{2}をみたすnをすべて求めよ．