「素数」について

　国立 神戸大学 2011年 第4問

aは正の無理数で，a3+3a2-14a+6,Y=a2-2aを考えると，XとYはともに有理数である．以下の問に答えよ．
(1)整式x3+3x2-14x+6を整式x2-2xで割ったときの商と余りを求めよ．
(2)XとYの値を求めよ．
(3)aの値を求めよ．ただし，素数の平方根は無理数であることを用いてよい．

　国立 島根大学 2011年 第1問

mを自然数とする．2m!が2nで割り切れる自然数nの最大値をN(m)とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)N(5)を求めよ．
(2)N(m)をmの式で表せ．
(3)N(m)が素数ならば，mも素数であることを証明せよ．

　国立 島根大学 2011年 第3問

U={k\;|\;k　は自然数，　1≦k≦25}を全体集合とし，Uの部分集合A,Bを次のように定める．
A={k\;|\;k\inU　かつ　k　は3の倍数　},B={k\;|\;k\inU　かつ　k　は4の倍数　}
このとき，次の問いに答えよ．
(1)2つの集合A∩B,A∪Bを，要素を書き並べる方法で表せ．
(2)mとnを自然数とし，2次方程式
(*)x2-mx+n=0
が整数解をもつとする．このとき，nが素数ならば，2次方程式(*)は1を解としてもつこ・・・

　私立 龍谷大学 2011年 第2問

さいころを3回続けて投げて出る目の数を順にa,b,cとする．m=abcとして次の問いに答えなさい．
(1)mが5の倍数となる確率を求めなさい．
(2)mが3の倍数となる確率を求めなさい．
(3)mが素数となる確率を求めなさい．
(4)mが36となる確率を求めなさい．

　公立 高崎経済大学 2011年 第1問

以下の各問いに答えよ．
(1)次の方程式を解け．
|x+3|=2x
(2)aを素数とする．2次方程式x2-ax+66=0の2つの解のうち，ただ1つのみが素数であるとき，aの値を求めよ．
(3)△ABCにおいて，A=60°，外接円の半径Rが7のとき，BCの長さを求めよ．
(4)log_{10}2=0.3010,log_{10}3=0.4771とする．12^{20}は何桁の整数か．
(5)15本のくじの中に当たりくじが3本ある．この中から2本のくじを同時に引くとき，少なくとも1本が当たる確率・・・

　国立 神戸大学 2010年 第2問

pを3以上の素数，a,bを自然数とする．以下の問に答えよ．ただし，自然数m,nに対し，mnがpの倍数ならば，mまたはnはpの倍数であることを用いてよい．
(1)a+bとabがともにpの倍数であるとき，aとbはともにpの倍数であることを示せ．
(2)a+bとa2+b2がともにpの倍数であるとき，aとbはともにpの倍数であることを示せ．
(3)a2+b2とa3+b3がともにpの倍数であるとき，aとbはともにpの倍数であることを示せ．

　国立 千葉大学 2010年 第1問

直角三角形ABCは∠Cが直角で，各辺の長さは整数であるとする．辺BCの長さが3以上の素数pであるとき，以下の問いに答えよ．
(1)辺AB，CAの長さをpを用いて表せ．
(2)tan∠Aとtan∠Bは，いずれも整数にならないことを示せ．

　国立 旭川医科大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)整数を係数とするn次方程式
f(x)=a0xn+a1x^{n-1}+a2x^{n-2}+・・・+a_{n-1}x+an=0
が有理数の解β/α（αとβは互いに素な整数とする）をもつとき，αはa0の約数でありβはanの約数であることを示せ．
(2)素数pに対して，
x+y+z=p/3,xy+yz+zx=1/p,xyz=\frac{1}{p3}
を満たすx,y,zがすべて正の有理数であるとき，pおよびx,y,zを求めよ．

　国立 滋賀医科大学 2010年 第5問

nを2以上の自然数として，階乗n!を素数の積で表すときに現れる2の個数をanとおく．すなわち\frac{n!}{2^{an}}は奇数である．
(1)\frac{(2n)!}{2nn!}は奇数であることを示せ．
(2)a_{2n}-anをnを用いて表せ．
(3)n=2k(k　は自然数　)のとき，anをnを用いて表せ．
(4)an＜nを示せ．
(5)\sqrt[n]{n!}は無理数であることを示せ．

　国立 宮城教育大学 2010年 第2問

自然数Nは30の倍数である．
\begin{align}
&U={x\;|\;x　は　1　以上　N　以下の奇数　},\nonumber\\
&A={x\;|\;x\inU,x　は　3　の倍数　},\nonumber\\
&B={x\;|\;x\inU,x　は　5　の倍数　},\nonumber
\end{align}
とし，集合U,A,B,A∩Bの要素の個数をそれぞれuN,aN,bN,cNと表す．次の問いに答えよ．
(1)uN,aN,bN,cNをNを用いて表せ．
(2)N以下の素数の個数をPNとするとき，不等式PN≦uN-aN-b・・・