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　国立 埼玉大学 2014年第1問

pを素数とする．以下の問いに答えよ．
(1)1≦r≦p-1を満たす自然数rに対し，\comb{p}{r}はpで割り切れることを示せ．ただし，\comb{p}{r}はp個からr個とる組合せの総数を表すものとする．
(2)1≦s≦q-1を満たす自然数の組(q,s)であって，\comb{q}{s}がqで割り切れないものを1組あげよ．
(3)自然数m,nに対し，(m+n)^p-(m^p+n^p)がpで割り切れることを示せ．
(4)自然数nに対し，n^p-nはpで割り切れることを，nに関する数学的帰納法を用いて証明せよ．・・・

　国立 富山大学 2014年第2問

pを素数とするとき，次の問いに答えよ．
(1)自然数kが1≦k≦p-1を満たすとき，\comb{p}{k}はpで割り切れることを示せ．ただし，\comb{p}{k}はp個のものからk個取った組合せの総数である．
(2)nを自然数とするとき，nに関する数学的帰納法を用いて，n^p-nはpで割り切れることを示せ．
(3)nがpの倍数でないとき，n^{p-1}-1はpで割り切れることを示せ．

　公立 岐阜薬科大学 2014年第2問

異なるn個の整数1,2,3,・・・,nの中から重複を許して2個の整数を選び，すべての組合せについて，2数の和および積をたし合わせたものをそれぞれS(n)，T(n)とする．n≧2であるとき，次の問いに答えよ．
(1)S(3)，T(3)を求めよ．
(2)S(n)，T(n)をnの式で表せ．

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