「絶対値」について

　国立 東京大学 2015年 第2問

座標平面上の2点A(-1,1)，B(1,-1)を考える．また，Pを座標平面上の点とし，そのx座標の絶対値は1以下であるとする．次の条件(i)または(ii)をみたす点Pの範囲を図示し，その面積を求めよ．
(i)頂点のx座標の絶対値が1以上の2次関数のグラフで，点A，P，Bをすべて通るものがある．
(ii)点A，P，Bは同一直線上にある．

　国立 岡山大学 2015年 第1問

nを2以上の自然数とし，1からnまでの自然数kに対して，番号kをつけたカードをそれぞれk枚用意する．これらすべてを箱に入れ，箱の中から2枚のカードを同時に引くとき，次の問いに答えよ．
(1)用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(2)引いたカード2枚の番号が両方ともkである確率をnとkの式で表せ．
(3)引いたカード2枚の番号が一致する確率をnの式で表せ．
(4)引いたカード2枚の番号が連続している確率（すなわち，2つの番号の差の絶対値が1である確率）をnの式で表せ．
\end{・・・

　国立 名古屋大学 2014年 第2問

大小合わせて2個のサイコロがある．サイコロを投げると，1から6までの整数の目が等しい確率で出るとする．
(1)2個のサイコロを同時に投げる．出た目の差の絶対値について，その期待値を求めよ．
(2)2個のサイコロを同時に投げ，出た目が異なるときはそこで終了する．出た目が同じときには小さいサイコロをもう一度だけ投げて終了する．終了時に出ている目の差の絶対値について，その期待値を求めよ．

　国立 三重大学 2014年 第5問

実数aに対して，下の4つの条件p,q,r,sを考える．ただし，実数kに対して，[k]はk以下の最大の整数を表し，\langlek\rangleはk以上の最小の整数を表すとする．たとえば，k=2.15のとき，[k]=2であり，\langlek\rangle=3である．また，|k|はkの絶対値を表す．
p:x2+4x+a2=0を満たす実数xが存在する．
q:[a]＜\langlea\rangle
r:|a-1.5|＜\frac{1}{|a-1.5|+1.5}
s:0＜a＜π，かつ，sin\lef・・・

　国立 京都工芸繊維大学 2014年 第4問

xの2次方程式(*)x2-2ax+2ab-b2=0について，以下の問いに答えよ．ただし，a,bは実数とする．
(1)(*)は実数解のみをもつことを証明せよ．
(2)1個のさいころを2回投げて出た目の数を順にa,bとする．このa,bに対して(*)を考え，
「(*)は符号の異なる2つの解をもつ」という事象をA，
「(*)の2つの解の差の絶対値は6以下である」という事象をB
とする．ただし，(*)が重解をもつときは(*)の2つの解・・・

　私立 北海学園大学 2014年 第1問

xの2次関数y=x2-(2a2-4a)x+a4-4a3+3a2+1のグラフについて，次の問いに答えよ．ただし，aは0＜a＜2を満たす実数とする．
(1)頂点の座標を求めよ．
(2)頂点が直線y=-x上にあるようなaの値を求めよ．
(3)原点と頂点を通る直線の傾きの絶対値が1以上となるようなaの値の範囲を求めよ．

　公立 宮城大学 2014年 第2問

次の空欄[ア]から[ク]にあてはまる数や式を書きなさい．
初項2，公差3の等差数列{an}と，初項1，公差4の等差数列{bn}がある．このとき，それぞれの一般項をnを用いて表せば，
an=[ア],bn=[イ]
である．
また，数列{an}と数列{bn}に共通に含まれる項を順に並べると，次のような数列{cn}が得られる．
c1=5,c2=[ウ],c3=[エ],・・・
したがって，数列{cn}の一般項をnを用いて表せば・・・

　国立 愛知教育大学 2013年 第7問

2つの実数a,bは|2a|-2＜b＜2をみたしている．このとき，xの4次方程式
x4+ax3+bx2+ax+1=0・・・・・・(*)
を考える．
(1)x≠0とする．z=x+1/xとおくとき，方程式(*)をzで表せ．
(2)(1)で求めたzの方程式の解は，すべて絶対値が2以下の実数であることを示せ．
(3)複素数α=p+qi（p,qは実数）に対し，\sqrt{p2+q2}を複素数αの「大きさ」ということにする．ただしiは虚数単位を表す．このとき，4次方程式(*)の・・・

　国立 千葉大学 2012年 第9問

以下の問いに答えよ．
(1)関数f(x)は第2次導関数f^{\prime\prime}(x)が連続で，あるa＜bに対して，f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0を満たしているものとする．このとき
f(b)-f(a)=∫ab(\frac{a+b}{2}-x)f^{\prime\prime}(x)dx
が成り立つことを示せ．
(2)直線道路上における車の走行を考える．ある信号で停止していた車が，時刻0で発進後，距離Lだけ離れた次の信号に時刻Tで到達し再び停止した．この間にこの車の加速度の絶対値が\frac{4L}{T2}以上である瞬間が・・・

　私立 早稲田大学 2012年 第1問

a,bを実数とする．2次方程式
x2+(a-1)x+b+1=0
が実数解を持ち、すべての解の絶対値が1以下になっているとき，次の問いに答えよ．
(1)点(a,b)が存在する領域をDとする．Dに含まれる
aの最大値は[ア]，最小値は[イ]，
bの最大値は[ウ]，最小値は[エ]である．
(2)領域Dの面積は[オ]である．