「置換」について

　国立 静岡大学 2014年 第1問

I=∫0^{π/2}\frac{cos3x}{cosx+sinx}dx，J=∫0^{π/2}\frac{sin3x}{cosx+sinx}dxとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)x=π/2-tとおいて置換積分法を用いることで，I=Jを示せ．
(2)I+Jの値を求めよ．
(3)IとJの値を求めよ．

　私立 大同大学 2013年 第5問

f(x)=\frac{xlog(x2+3/4)}{x2+3/4}とする．
(1)f(x)=0をみたすxの値を求めよ．
(2)t=log(x2+3/4)を微分せよ．
(3)(2)を用いて置換積分することにより，不定積分∫f(x)dxを求めよ．
(4)曲線y=f(x)とx軸で囲まれる2つの部分の面積の和を求めよ．

　国立 茨城大学 2012年 第2問

すべての実数tに対して関数f(t),g(t)をf(t)=et-e^{-t},g(t)=et+e^{-t}と定義する．ただし，eは自然対数の底とする．次の各問に答えよ．
(1)すべてのtに対してg(t)≧2であることを示せ．
(2)f(t)は単調増加であることを示せ．
(3)x=f(t),s=etとするとき，sをxを用いて表せ．
(4)x=f(t)の逆関数t=f^{-1}(x)を求めよ．
(5)不定積分∫\frac{1}{\sqrt{x2+4}}dxをx=f(t)と置換積分して求めよ．
\mon座標平面上でtを媒介変数とする曲線x=f(t),y=g(・・・

　私立 大同大学 2012年 第5問

f(x)=sin2xlog(2sinx)(π/12≦x≦3/4π)とする．
(1)不定積分∫tlogtdtを求めよ．
(2)2sinx=tとおいて置換積分することにより，不定積分∫f(x)dxを求めよ．
(3)f(x)≧0をみたすxの範囲を求めよ．
(4)曲線y=f(x)とx軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

　公立 名古屋市立大学 2012年 第3問

曲線C1:y2=4pxとC2:x2-y2=-q（ただし，p＞0，q＞0）の二つの曲線が接するとき，次の問いに答えよ．
(1)qをpを用いて表せ．また接点の座標をpを用いて表せ．
(2)\sqrt{x2+q}+x=tと置いたときxをtで表せ．また不定積分I=∫\sqrt{x2+q}dxをxからtへの置換積分により，tの関数として求めよ．
(3)曲線C1，C2とy軸で囲まれた部分の面積をpで表せ．

　国立 佐賀大学 2011年 第3問

関数
f(t)=∫1t\frac{logx}{x+t}dx(t＞0)
を考える．ただし，対数は自然対数とする．
(1)この定積分をx=tyによって置換することにより，
f(t)=logt∫_{t^{-1}}1\frac{1}{y+1}dy+∫_{t^{-1}}1\frac{logy}{y+1}dy
を示せ．
(2)d/dt∫_{t^{-1}}1\frac{logy}{y+1}dy=-\frac{logt}{t(t+1)}を示せ．
(3)導関数f^{\prime}(t)を求めよ．
(4)関数f(t)の極値を求めよ．

　私立 大同大学 2011年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)\frac{x3(x-1)2}{x2+1}=x3+px2+qx+r+\frac{s}{x2+1}をみたす定数p,q,r,sの値を求めよ．
(2)置換積分法により，x=tanθとおいて∫01\frac{dx}{x2+1}の値を求めよ．
(3)\frac{x3(x-1)2}{x2+1}≧\frac{x3(x-1)2}{k}(0≦x≦1)をみたす最小の正の定数kの値を求めよ．
(4)上の(1)，(2)，(3)の結果を使って，π＜63/20を示せ．

　国立 防衛大学校 2010年 第5問

実数xに対して，t=ex+e^{-x}とするとき，次の問に答えよ．
(1)tのとり得る値の最小値mを求めよ．
(2)e^{2x}+e^{-2x}をtの式で表せ．
(3)t=ex+e^{-x}とおいて置換積分することにより，定積分I=∫_{log2}^{log4}\frac{2ex-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1}dxを求めよ．
(4)定数aに対して，∫_{a}^{2a}\frac{2ex-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1}dx=log3/2となるとき，ea+e^{-a}の値を求めよ．（aの値は求めなくてよい．）

　国立 宮城教育大学 2010年 第5問

関数f(x)=∫_αx(t-α)cos(x-t)dtを考える．ただし，αは定数とする．次の問いに答えよ．
(1)xを定数とみて，u=x-tとおく．置換積分法を用いて，
∫_αx(t-α)cos(x-t)dt=∫0^{x-α}(x-α-u)cosudu
となることを示せ．
(2)導関数f´(x)を求めよ．
(3)関数f(x)を求めよ．
(4)曲線y=f(x)(α≦x≦α+2π)とx軸で囲まれた部分を，x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．
\end{・・・

　私立 早稲田大学 2010年 第4問

xyz空間において，2点P(1,0,1)，Q(-1,1,0)を考える．線分PQをx軸の周りに1回転して得られる曲面をSとする．以下の問に答えよ．
(1)曲面Sと，2つの平面x=1およびx=-1で囲まれる立体の体積を求めよ．
(2)(1)の立体の平面y=0による切り口を，平面y=0上において図示せよ．
(3)定積分∫01\sqrt{t2+1}dtの値をt=\frac{es-e^{-s}}{2}と置換することによって求めよ．
これを用いて，(2)の切り口の面積を求めよ．