「自然対数」について

　国立 茨城大学 2012年 第2問

すべての実数tに対して関数f(t),g(t)をf(t)=et-e^{-t},g(t)=et+e^{-t}と定義する．ただし，eは自然対数の底とする．次の各問に答えよ．
(1)すべてのtに対してg(t)≧2であることを示せ．
(2)f(t)は単調増加であることを示せ．
(3)x=f(t),s=etとするとき，sをxを用いて表せ．
(4)x=f(t)の逆関数t=f^{-1}(x)を求めよ．
(5)不定積分∫\frac{1}{\sqrt{x2+4}}dxをx=f(t)と置換積分して求めよ．
\mon座標平面上でtを媒介変数とする曲線x=f(t),y=g(・・・

　国立 茨城大学 2012年 第3問

数列{an}をan=1/n!∫01tne^{-t}dt(n=1,2,3,・・・)と定義する．ただし，eは自然対数の底とする．次の各問に答えよ．
(1)a1を求めよ．
(2)0≦t≦1のときtn≦tであることを用いてan≦\frac{a1}{n!}(n=1,2,3,・・・)を示せ．
(3)極限\lim_{n→∞}anを求めよ．
(4)a_{n+1}=an-\frac{1}{e(n+1)!}(n=1,2,3,・・・)を示せ．
(5)極限\lim_{・・・

　国立 東京農工大学 2012年 第3問

区間1≦x≦4で定められた関数f(x)=\sqrt{4x-x2},g(x)=\sqrt{xlog4/x}について，次の問いに答えよ．ただし対数は自然対数とする．
(1)曲線y=f(x)とx軸および直線x=1で囲まれた部分を，x軸の周りに1回転させてできる回転体の体積Vを求めよ．
(2)区間1≦x≦4において{f(x)}2-{g(x)}2≧0が成り立つことを示せ．
(3)2つの曲線y=f(x),y=g(x)と直線x=1で囲まれた部分をDとおく．Dをx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積Wを・・・

　国立 福岡教育大学 2012年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)無限級数
1+\frac{1}{1+ex}+\frac{1}{(1+ex)2}+・・・+\frac{1}{(1+ex)n}+・・・
はすべての実数xについて収束することを示し，その和を求めよ．ただし，eは自然対数の底とする．
(2)(1)で求めた無限級数の和をf(x)とする．方程式logf(x)=xを解け．ただし，対数は自然対数とする．

　私立 早稲田大学 2012年 第1問

次の小問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．
(1)実数a,bが0≦a≦π，a＜bをみたすとき，
I(a,b)=∫abe^{-x}sinx\;dx
とおく．ただし，eは自然対数の底とする．
\lim_{b→∞}I(a,b)=0
が成立するようにaを定めよ．
(2)行列A=
\begin{pmatrix}
\;\;\;a&b\;\;\;\;\\
\;\;\;c&d\;\;\;\;
\end{pmatrix}
はad-bc=2およびa+d=3をみたし，かつ，ある行列
B=
\begin{pmatrix}
\;\;\;1&1\;\;\;\;\\
\;\;\;0&1\;\;\;\;
\end{pmatrix}
\b・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第1問

次の文章中の[ア]から[ラ]までに当てはまる数字0～9を求めて記入せよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．
(1)数列{an},{bn}(n=1,2,3,・・・)は次の関係式を満たすとする．
a1=0,{\begin{array}{l}
bn=1/5an+1\
a_{n+1}=3bn+2
\end{array}.(n=1,2,3,・・・)
このとき，b1=[ア]で，n\geq1に対してb_{n+1}=\frac{[イ]}{[ウ]}bn+\frac{[エ]}{\・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第2問

2つの関数
x=g(θ)=9/4sin2θ,y=h(x)=logx
に対して，関数g(θ)と関数h(x)の合成関数
f(θ)=h(g(θ))
を考える．ただし，対数は自然対数とする．
(1)f(π/3)=-[ア]log2+\frac{[イ]}{[ウ]}log3である．
(2)実数θ1がsinθ1+cosθ1=\frac{\sqrt{82}}{8}を満たすとき，
f(θ1)=-[エ]log2+[オ]log3
で・・・

　私立 明治大学 2012年 第1問

次の空欄[ア]から[エ]に当てはまるものを答えよ．ただし，logは自然対数，eはその底である．
(1)\lim_{n→∞}(\sqrt{n2+n}-\sqrt{n2-n})=[ア]
(2)\lim_{x→0}\frac{32x-1}{8x-1}=[イ]
(3)ある物質Pは時間とともに変化し，その量が減少する．時刻tにおける物質Pの量y(t)は，
y(t)=ae^{-kt}(t≧0)
であるとする．ただし，a＞0,k＞0は定数であ・・・

　私立 東京慈恵会医科大学 2012年 第2問

aを実数とする．xy平面上の2曲線
\qquadC1:y=ex,C2:y=-e^{1-x}+a
を考える．
C1上の点P(t,et)(t＞0)におけるC1の接線ℓtが，C2上の点Q(s,-e^{1-s}+a)におけるC2の接線にもなっているとき，次の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底である．
(1)tとsの関係式を求めよ．また，aをtを用いて表せ．
(2)C1,ℓtおよびy軸で囲まれた部分の面積をS1(t)とし，C2,ℓtおよびy軸で囲まれた部分の面積をS2・・・

　私立 明治大学 2012年 第2問

次の空欄[ア]から[オ]に当てはまるものをそれぞれ入れよ．ただし，eは自然対数の底である．必要ならば\lim_{x→∞}\frac{x}{ex}=0.\lim_{x→∞}\frac{x2}{ex}=0を用いてもよい．
関数f(x)=\frac{(x+1)2}{ex}を考える．
(1)f(x)はx=[ア]において最小値[イ]をとる．
(2)kを定数とする．xについての方程式f(x)=kが二つの実数解をもつとき，k=[ウ]である．
(3)曲線y=f(x)の変曲点のx・・・