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k＞0として，座標平面上の曲線C:y=e^{kx}を考える．曲線C上の点Pを，PにおけるCの接線ℓ1が原点Oを通るようにとる．また，点Pを通リℓ1と直交する直線をℓ2とし，図のように，曲線C，直線ℓ2，x軸，y軸の4つで囲まれた図形をAとする．ただし，eは自然対数の底である．
（プレビューでは図は省略します）
(1)点Pの座標と，直線ℓ2とx軸との交点の座標を求めよ．
(2)図形Aをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．
(3)・・・
私立 上智大学 2012年 第4問logxは自然対数，eは自然対数の底を表す．
(1)a,bはe^{-1}＜a＜1,b＞0を満たす実数とする．曲線C:y=logxと直線ℓ:y=ax+bとが接しているとすると，
b=[モ]loga+[ヤ]
が成り立つ．このとき，曲線Cと3つの直線ℓ，x=1，x=eとで囲まれた図形の面積をS(a)とする．aがe^{-1}＜a＜1の範囲を動くときのS(a)の最小値は
([ユ]e+[ヨ])log(\frac{e+[ラ]}{[リ]})+[ル]
で与えられる．
(2)kを正の定数・・・
私立 東京理科大学 2012年 第3問自然数n=1,2,3,・・・に対し，x＞0で定義された関数fn(x)を
fn(x)=\frac{logx}{xn}(x＞0)
で定める．ただし，logは自然対数を表す．
t＞1とするとき，座標平面において曲線y=fn(x)のx≦tの部分，x軸，直線x=tの3つで囲まれている図形の面積をSn(t)とする．また，4点(1,0)，(t,0)，(t,fn(t))，(1,fn(t))を頂点とする長方形の面積をTn(t)とする．
(1)関数fn(x)が極大となるときのxの値と，そのときのfn(x)の極大値を・・・
私立 福岡大学 2012年 第9問f(x)=\frac{(logx)2}{x}(x＞0)とする．曲線C:y=f(x)上の点P(a,f(a))と点Q(b,f(b))における曲線Cの2つの接線が共に原点を通るとき，次の問いに答えよ．ただし，a＜bで，対数は自然対数とする．
(1)a,bの値と点Q(b,f(b))における曲線Cの法線の方程式を求めよ．
(2)点P(a,f(a))におけるCの接線，点Q(b,f(b))におけるCの法線，および曲線Cによって囲まれる部分の面積を求めよ．
私立 津田塾大学 2012年 第4問曲線y=xexをC1，曲線y=ex2をC2とする．ただし，eは自然対数の底とする．
(1)不等式xex＞ex2が成り立つxの値の範囲を求めよ．
(2)C1とC2で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 愛知工業大学 2012年 第2問a＞0とする．xy平面において，曲線y=ex，x軸，y軸および直線x=aで囲まれた部分の面積をS(a)とする．ただし，eは自然対数の底である．
(1)S(b)=2S(a)となるb(b＞0)をaの式で表せ．
(2)(1)のbに対して，\lim_{a→+0}b/aを求めよ．
私立 東京理科大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)△ABCの3辺の長さがそれぞれ
AB=5,BC=7,AC=4√2
であるとする．この三角形の∠ABCの大きさをBで表すと
cosB=\frac{[ア]}{[イ]}
であり，△ABCの外接円の半径Rは，
R=\frac{[ウ]}{[エ]}\sqrt{[オ]}
である．また，∠ABCの2等分線と△ABCの外接円の交点でBと異なる点をDとする．このとき，
AD=・・・
私立 聖マリアンナ医科大学 2012年 第2問nを自然数，cおよびdを実数として，数列{an}を初項c，公差dの等差数列，数列{bn}を初項3，公差2の等差数列とするとき，以下の設問に答えなさい．
(1)d≠0のとき，
Σ_{k=1}ne^{ak}=[1]
となる．ただし，eは自然対数の底とする．
(2)数列{fn}の第n項をfn=bne^{an}と定義する．d=-0.08のとき，fnの値が最大になるのはn=[2]のときである．
私立 東京女子大学 2012年 第7問関数f(x)=x2e^{-x}に対し，以下の設問に答えよ．ここでeは自然対数の底を表す．
(1)x≧0におけるf(x)の最大値，およびそのときのxの値を求めよ．
(2)定積分∫01f(x)dxを求めよ．
公立 首都大学東京 2012年 第1問eは自然対数の底とする．f(x)=xlogx（x＞0,logxはxの自然対数）とおく．t＞eとするとき，以下の問いに答えなさい．
(1)曲線y=f(x)上の点Aにおける接線の傾きがlogtとなるとき，Aのx座標a(t)を求めなさい．
(2)x≧1の範囲において，曲線y=f(x)とx軸および直線x=a(t)で囲まれた部分の面積S(t)を求めなさい．
(3)t→∞のとき，\frac{S(t)}{tplogt}が0でない値に収束するような正の定数pの値を求めなさい．また，そのときの\di・・・