「自然対数」について
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以下の問に答えよ．
(1)x≧1において，x＞2logxが成り立つことを示せ．ただし，eを自然対数の底とするとき，2.7＜e＜2.8であることを用いてよい．
(2)自然数nに対して，
(2nlogn)n＜e^{2nlogn}
が成り立つことを示せ．
国立 弘前大学 2011年 第2問nを自然数とし，
Sn=∫_{(n-1)π}^{nπ}e^{-x}(|sinx|+1)\;dx
とする．ただし，eは自然対数の底である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)e^{-x}(sinx+cosx)を微分せよ．
(2)Snおよび無限級数Σ_{n=1}^∞Snの和を求めよ．
国立 弘前大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底である．
(1)すべての実数xに対して，次の不等式を証明せよ．
1-x2≦e^{-x2}≦1
(2)極限\lim_{n→∞}∫01x2e^{-(x/n)2}\;dxを求めよ．
国立 信州大学 2011年 第2問曲線y=ax3と曲線y=5logxが接しているとする．ただし，aは正の定数で，対数は自然対数である．
(1)aの値を求めよ．
(2)2つの曲線およびx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ．
国立 奈良女子大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)関数y=xlogx(1/3≦x≦1)の増減，凹凸を調べて，そのグラフをかけ．ただし対数は自然対数とする．また自然対数の底eは，2＜e＜3をみたす．
(2)定積分∫_{1/3}1xlogxdxを求めよ．
国立 千葉大学 2011年 第11問f(x)=x∫0x\frac{dt}{1+t2},g(x)=log(1+x2)(x は実数 )とおく．ただし，logxはxの自然対数を表す．
(1)∫01f(x)dxの値を求めよ．
(2)x＞0のときf(x)＞g(x)であることを証明せよ．
(3)\lim_{n→∞}{(1/nΣ_{k=1}nlog(k2+n2))-2logn}の値を求めよ．
国立 鳥取大学 2011年 第3問曲線C:y=logx(x＞0)について，次の問いに答えよ．ただし，logxはxの自然対数である．
(1)不定積分∫logxdxを求めよ．
(2)原点から曲線Cに引いた接線ℓの方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線Cと(2)で求めた接線ℓおよびx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)曲線Cと(2)で求めた接線ℓおよびx軸とで囲まれた部分をx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 鳥取大学 2011年 第3問曲線C:y=logx(x＞0)について，次の問いに答えよ．ただし，logxはxの自然対数である．
(1)不定積分∫logxdxを求めよ．
(2)原点から曲線Cに引いた接線ℓの方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線Cと(2)で求めた接線ℓおよびx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)曲線Cと(2)で求めた接線ℓおよびx軸とで囲まれた部分をx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 佐賀大学 2011年 第3問関数
f(t)=∫1t\frac{logx}{x+t}dx(t＞0)
を考える．ただし，対数は自然対数とする．
(1)この定積分をx=tyによって置換することにより，
f(t)=logt∫_{t^{-1}}1\frac{1}{y+1}dy+∫_{t^{-1}}1\frac{logy}{y+1}dy
を示せ．
(2)d/dt∫_{t^{-1}}1\frac{logy}{y+1}dy=-\frac{logt}{t(t+1)}を示せ．
(3)導関数f^{\prime}(t)を求めよ．
(4)関数f(t)の極値を求めよ．
国立 電気通信大学 2011年 第1問xy平面上の曲線C:y=logxに対して，以下の問いに答えよ．ただし，logxはeを底とする自然対数とする．
(1)曲線C上の点P(t,logt)におけるCの接線ℓの方程式を求めよ．
(2)接線ℓとx軸の交点Qのx座標をx0とする．x0をtを用いて表せ．
(3)t＞1のとき，曲線Cとx軸および直線x=tとで囲まれる部分の面積をS(t)とする．S(t)をtを用いて表せ．
(4)t＞1のとき，曲線Cとx軸および接線ℓとで囲まれる部分の面積をT(t)とする．T(t)をtを用い・・・