「自然対数」について

　国立 電気通信大学 2011年 第2問

x＞0において関数
f(x)=sin(logx)
を考える．\\
方程式f(x)=0の0＜x≦1における解を大きいほうから順にならべて，
1=α1＞α2＞α3＞・・・＞αn＞α_{n+1}＞・・・
とする．以下の問いに答えよ．ただし，logxはeを底とする自然対数とする．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．
(1)不定積分I(x),J(x)をそれぞれ
I(x)=∫exsinxdx,J(x)=∫excosxdx
とおくとき，I(x)+J(x),I(x)-J(x)を求めよ．
(2)・・・

　国立 東京学芸大学 2011年 第3問

下の問いに答えよ．
(1)不定積分∫xe^{-2x}dx，∫x2e^{-2x}dxを求めよ．
(2)すべての実数xについて
f(x)=(2x2+3)e^{-x}+∫0^{log2}f(t)e^{-t}dt
をみたす関数f(x)を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．

　国立 防衛医科大学校 2011年 第4問

数列
{\scriptsize
1^{0.01},2^{0.02},2^{0.02},3^{0.03},3^{0.03},3^{0.03},4^{0.04},4^{0.04},4^{0.04},4^{0.04},5^{0.05},・・・,(n-1)^{\frac{n-1}{100}},\underbrace＜30,0＞{n^{\frac{n}{100}},・・・,n^{\frac{n}{100}}}_{n個},(n+1)^{\frac{n+1}{100}},・・・
}
について，以下の問に答えよ．ただし，eは自然対数の底である．
(1)第36項はいくらか．
(2)不定積分∫x2logexdxを求めよ．
(3)第1項から第36項までのすべての項の積をAとす・・・

　国立 茨城大学 2011年 第1問

以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，eは自然対数の底である．
(1)次の関数を微分せよ．
\mon[(i)]y=sin32x
\mon[(ii)]y=log\frac{ex}{ex+1}
(2)次の不定積分を求めよ．
(3)∫\frac{1}{x2}(1+2/x)2dx
\mon[(ii)]∫\frac{x2}{x2-1}dx
(4)定積分∫_{-1}^{log2}e^{|x|}e^{x}dxを求めよ．
\end{e・・・

　国立 和歌山大学 2011年 第4問

f(x)=2x2-15x+16+11logxとする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数であり，その底はe=2.718・・・である．
(1)x≧1のとき，f(x)＞0であることを示せ．
(2)曲線y=f(x)とx軸および2直線x=2,x=3で囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)log27/4＞1.8であることを示せ．

　国立 奈良教育大学 2011年 第4問

eを自然対数の底とする．関数f(x)をf(x)=log(e-x)(x＜e)とする．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)曲線y=f(x)とx軸との交点を求めよ．
(2)曲線y=f(x)とy軸との交点をPとする．点Pにおける曲線y=f(x)の接線をℓとする．直線ℓの方程式を求めよ．
(3)曲線y=f(x)と直線ℓのグラフを描け．
(4)曲線y=f(x)と直線ℓおよびx軸によって囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 宮崎大学 2011年 第1問

次の各問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(2)y=e^{√x}
(3)y=\frac{log|cosx|}{x}
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)∫0^{\frac{\sqrt{π}}{2}}xtan(x2)dx
\mon∫0^{1/3}xe^{3x}dx
\mon∫e^{ee}\frac{1}{xlogx}dx
\mon∫23\frac{x2+1}{x(x+1)}dx
\end{en・・・

　国立 宮崎大学 2011年 第1問

次の各問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(2)y=e^{√x}
(3)y=\frac{log|cosx|}{x}
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)∫0^{\frac{\sqrt{π}}{2}}xtan(x2)dx
\mon∫0^{1/3}xe^{3x}dx
\mon∫e^{ee}\frac{1}{xlogx}dx
\mon∫23\frac{x2+1}{x(x+1)}dx
\end{enumer・・・

　国立 東京農工大学 2011年 第4問

cを正の実数とする．関数f(x)=(x+c)e^{2x}について，次の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底とする．
(1)y=f(x)はx=kのとき最小値mをとる．このとき，kとmをcの式で表せ．
(2)kを(1)で求めた値とする．このとき，定積分
T=∫k^{-c}f(x)dx
をcの式で表せ．
(3)Tを(2)で求めた値とする．区間-c≦x≦0において，曲線y=f(x)，x軸およびy軸のすべてで囲まれた部分の面積をSとする．S=\frac{e}{2-e}Tとなるときのcの値を求めよ．

　国立 室蘭工業大学 2011年 第2問

正の整数nに対して，Sn(x)=∫0xtne^{-t}dtとおく．ただし，eは自然対数の底とする．
(1)S_{n+1}(x)をn,xおよびSn(x)を用いて表せ．
(2)mを正の整数とする．x＞0のとき，不等式e^{\frac{x}{m+1}}＞\frac{x}{m+1}が成り立つことを示せ．また，\lim_{x→∞}\frac{xm}{ex}=0となることを示せ．
(3)数学的帰納法を用いて，すべての正の整数nに対して，\lim_{x→∞}Sn(x)=n!となることを示せ．