「自然対数」について

　国立 九州工業大学 2011年 第4問

曲線C1:y=√x|logx|と曲線C2:y=√xがある．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．
(1)関数f(x)=√xlogxの増減，極値を調べ，曲線y=f(x)の概形をかけ．ただし，\lim_{x→+0}√xlogx=0であることを用いてよい．
(2)曲線C1,C2はx＞0において2つの交点をもつ．それらの座標を求めよ．
(3)(2)で求めた交点のx座標をa,b(a＜b)とする．曲線C1,C2のa≦x≦bの部分が囲む図形の面積Sを求めよ．

　国立 福岡教育大学 2011年 第4問

nを2以上の自然数とし，xの関数f(x),g(x)を
f(x)=xnlog2x,g(x)=log2x
とする．ただし，対数は自然対数とする．次の問いに答えよ．
(1)f(x)の極値を求めよ．
(2)曲線y=f(x)の変曲点を求めよ．
(3)2つの曲線y=f(x)とy=g(x)で囲まれた図形の面積Snを求めよ．
(4)\lim_{n→∞}Snを求めよ．

　私立 明治大学 2011年 第1問

次の空欄[ア]から[カ]に当てはまるものをそれぞれ入れよ．ただしlogは自然対数，またeはその底である．
(1)円柱Cの底面の半径をr，高さをhとする．Cの体積がVであるときCの表面積SをrとVで表せば
S=2πr^{[ア]}+2Vr^{[イ]}
となる．したがって体積Vを一定にしたままSを最小にするためには
r=(\frac{V}{[ウ]})^{1/3}
とすればよい．このときrとhの間にはr=[エ]hの関係がある．
(2)次の問いに答えよ．
\beg・・・

　私立 北海学園大学 2011年 第5問

0以上の整数nに対して，In=∫01xne^{5x}dxとするとき，次の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底を表す．
(1)I0の値を求めよ．
(2)I1の値を求めよ．
(3)n≧1のとき，InをnとI_{n-1}を用いて表せ．また，I3の値を求めよ．

　私立 名城大学 2011年 第4問

曲線y=alogx(a＞0)とx軸および直線x=eで囲まれた部分をDとする．Dをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をV1，Dをy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をV2とする．ただし，eは自然対数の底とする．
(1)Dを図示せよ．
(2)∫1elogxdxを求めよ．
(3)V1とV2を求めよ．
(4)V1=V2となるときのaの値を求めよ．

　私立 愛知工業大学 2011年 第2問

f(x)=x(1-logx)(x＞0)とする．ただし，logxはxの自然対数である．
(1)xy平面において，y=f(x)の増減，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，\lim_{x→+0}xlogx=0である．
(2)xy平面において，曲線y=f(x)がx軸の正の部分と交わる点における曲線の接線をℓとする．直線ℓ，直線x=1および曲線y=f(x)で囲まれた部分の面積を求めよ．

　私立 聖マリアンナ医科大学 2011年 第4問

関数f(x)=2log\frac{2+\sqrt{4-x2}}{x}-\sqrt{4-x2}を考える．ただし，対数は自然対数である．以下の問いに答えなさい．
(1)関数f(x)の定義域は0＜x≦aである．aの値を求めなさい．
(2)曲線y=f(x)の概形をかきなさい．なお，yの増減およびグラフの凹凸を調べた過程も記載しなさい．
(3)0＜x0＜aとし，上問(2)の曲線y=f(x)をCとする．C上の点P(x0,y0)におけるCの接線とy軸との交点をQとする．線分PQの長さを求めなさい．ただし，aは上問・・・

　公立 高知工科大学 2011年 第3問

関数f(x)=\frac{2(logx)2-3logx}{x}(x＞0)について，次の各問に答えよ．ただしlogxは自然対数である．
(1)方程式f(x)=0を解け．
(2)関数f(x)の極大値と極小値を求めよ．また，そのときのxの値をそれぞれ求めよ．
(3)曲線y=f(x)とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

　公立 高知工科大学 2011年 第3問

0以上の整数nに対して
an=∫01e^{-x}xndx(n=0,1,2,・・・)
とおく．ここでeは自然対数の底である．次の各問に答えよ．
(1)a0とa1を求めよ．
(2)a_{n+1}とanの間に成り立つ関係式を求めよ．
(3)等式
\frac{an}{n!}=1-1/e(1/0!+1/1!+1/2!+・・・+1/n!)
が成り立つことを証明せよ．
(4)次式が成り立つことを証明せよ．
\maru{1}0≦an≦a0\qquad\maru{2}\lim_{n→∞}(\f・・・

　公立 大阪府立大学 2011年 第5問

関数f(x)を
f(x)=e^{ax}∫0x|cos(x-t)|dt
と定める．ただし，eは自然対数の底とし，aは実数とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)0≦x≦πを満たすxに対して，
I(x)=∫0x|cos(x-t)|dt
を求めよ．
(2)関数f(x)が区間0≦x＜π/2において極大値をもつようなaの値の範囲を求めよ．
(3)関数f(x)が2つの区間0≦x＜π/2とπ/2≦x≦πのどちらの区間に・・・