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eは自然対数の底，a,b,cは実数である．放物線y=ax2+bをC1とし，曲線y=clogxをC2とする．C1とC2が点P(e,e)で接しているとき，次の問いに答えよ．ここで，2つの曲線が点Pで接しているとは，ともに点Pを通り，かつ，その点における接線が一致していることである．
(1)a,b,cの値を求めよ．
(2)C1,C2およびx軸，y軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 九州工業大学 2010年 第4問次に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．必要ならば，1.09＜log3＜1.10を用いてよい．
(1)すべてのx＞0に対して，不等式
x-\frac{x2}{2}＜log(1+x)
が成り立つことを示せ．
(2)関数f(x)=x-\frac{x2}{3}-log(1+x)の0≦x≦2における最大値，および最小値を求めよ．
(3)方程式x-\frac{x2}{3}=log(1+x)は0＜x＜2の範囲に解を1つだけもつことを示せ．
(4)(3)における解をα(0＜α＜2)とする．曲線y=x-\frac{x2}{3}と曲線・・・
国立 新潟大学 2010年 第4問F(x)=∫0x\sqrt{1+e^{2t}}dtとする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底である．
(1)\sqrt{1+e^{2t}}=uとおいて，F(x)を求めよ．
(2)\lim_{x→∞}{F(x)-ex}を求めよ．
国立 東京農工大学 2010年 第4問xy平面上に
|ye^{2x|-6e^{x}-8}=-(ex-2)(ex-4)
で定まる曲線がある．この曲線によって囲まれる図形の面積Kを求めよ．ただし，eは自然対数の底である．
国立 鹿児島大学 2010年 第4問aを正の定数とし，関数
f(x)=(x-a)e^{-x}
について，次の各問いに答えよ．ただしeは自然対数の底である．
(1)関数f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(2)関数f(x)の第2次導関数f^{\prime\prime}(x)を求めよ．
(3)関数f(x)の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(4)nを正の整数とする．曲線y=f(x)とx軸および直線x=a+nとで囲まれた部分の面積Snをnとaで表せ．また，\lim_{n→∞}Snを求めよ．
国立 九州工業大学 2010年 第1問aを正の実数とする．また，対数は自然対数，eは自然対数の底を表す．以下の問いに答えよ．
(1)不定積分∫log(ax)dxを求めよ．
(2)0＜x＜eの範囲で曲線y=log(ax)と直線y=1とが交わるように，aの値の範囲を定めよ．
(3)aの値が(2)で求めた範囲にあるとする．座標平面において，曲線y=log(ax)と2直線y=0,x=eとで囲まれた図形のうち，y≦1の部分の面積をS1，y≧1の部分の面積をS2とする．S=S1-S2をaを用いて表せ．
(4)aの値が(2)で求めた範・・・
私立 北海学園大学 2010年 第5問曲線y=2e^{x-1}と曲線C:y=2logaxは点(b,c)のみで接し，接線を共有する．ただし，a,b,cは定数とし，b≧1とする．また，eは自然対数の底とする．
(1)曲線Cとx軸との交点の座標をaの式で表せ．
(2)t≧1のとき，f(t)=e^{t-1}-1/tの最小値を求めよ．さらに，a,b,cの値を求めよ．
(3)曲線C，x軸および直線x=1で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 北海学園大学 2010年 第4問曲線C:y=e^{ax}(a≠0)について次の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底とする．
(1)C上の点(t,e^{at})における接線の方程式を求めよ．さらに，この接線が原点Oを通るとき，この接線をℓと表す．接線ℓの方程式を求めよ．
(2)接線ℓ，曲線Cおよびy軸で囲まれた図形Dの面積が1となるようなaの値を求めよ．
(3)図形Dをx軸のまわりに回転してできる立体の体積がπとなるようなaの値を求めよ．
私立 北海学園大学 2010年 第3問曲線C:y=e^{ax}(a≠0)について次の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底とする．
(1)C上の点(t,e^{at})における接線の方程式を求めよ．さらに，この接線が原点Oを通るとき，この接線をℓと表す．接線ℓの方程式を求めよ．
(2)接線ℓ，曲線Cおよびy軸で囲まれた図形Dの面積が1となるようなaの値を求めよ．
(3)図形Dをx軸のまわりに回転してできる立体の体積がπとなるようなaの値を求めよ．
私立 東北学院大学 2010年 第4問2つの曲線y=elogx，y=ax2が共有点を持ち，その共有点における接線が一致するとき以下の問いに答えよ．ただしeは自然対数の底とする．
(1)定数aの値を求めよ．
(2)この2つの曲線とx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ．
(3)(2)の図形をy軸の周りに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ．
