「自然対数」について

　私立 甲南大学 2010年 第3問

x＞0の範囲で定義された関数f(x)=xlogx，g(x)=xxについて，以下の問いに答えよ．ただし，対数はeを底とする自然対数である．
(1)f(x)の導関数を求めよ．
(2)g(x)の導関数を求めよ．
(3)1/3≦x≦1/2の範囲におけるg(x)の最大値と最小値を求めよ．また，そのときのxの値を求めよ．

　私立 愛知工業大学 2010年 第2問

関数f(x)はf(x)=3x+2∫01(t+ex)f(t)dtをみたしている．ただし，eは自然対数の底である．
(1)∫01f(x)dx=a,∫01xf(x)dx=bとするとき，f(x)をx,a,bの式で表せ．
(2)a,bの値およびf(x)を求めよ．

　私立 神奈川大学 2010年 第3問

曲線C:y=exと直線ℓ:y=xについて，次の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底である．
(1)曲線C上の点P(t,et)を通り，直線ℓと直交する直線の方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた直線と直線ℓとの交点Qの座標をtで表せ．
(3)点Pと点Qの距離をtで表せ．
(4)(3)で求めた距離の最小値を求めよ．

　公立 滋賀県立大学 2010年 第4問

aは定数で，1＜a＜eとする．曲線C1:y=x+logx上に点P(a,a+loga)，曲線C2:y=-logx上に点Q(a,-loga)がある．ただし，eは自然対数の底である．
(1)PにおけるC1の接線をℓ1，QにおけるC2の接線をℓ2とする．このとき，3直線x=0,ℓ1,ℓ2で囲まれた部分の面積Sをaを用いて表せ．
(2)C1と3直線y=0,x=1,x=aで囲まれた部分をR1，C2と2直線y=0,x=aで囲まれた部分をR2とする．また，R1,R2をx軸の周りに1・・・

　公立 兵庫県立大学 2010年 第4問

数列{an},{bn}が
\begin{align}
&an=-1+log(1-\frac{1}{1+ne})\nonumber\\
&bn=log(n2-3n+3)-log(1+ne)\nonumber
\end{align}
で定められている．ここでlogは自然対数，eはその底である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)an≧bnを満たす自然数nをすべて求めよ．
(2)極限値\lim_{n→∞}(bn-logn)を求めよ．