「自然対数」について

　私立 東京理科大学 2015年 第2問

pを正の定数として，関数f(x)を
f(x)=-5xplogx(x＞0)
と定める．aはf´(a)=0を満たす正の実数とする．ここで，logxは自然対数であり，eは自然対数の底を表す．また，f´(x)はf(x)の導関数である．
(1)aの値をpを用いて表せ．
(2)不定積分∫f(x)dxを求めpを用いて表せ．
(3)直線x=aとx軸，および曲線y=f(x)のa≦x≦1の部分で囲まれる部分の面積をSとする．このとき，
\lim_{p→+0}S
の値を求めよ．必要ならば，・・・

　私立 東京理科大学 2015年 第3問

定数aに対し，
f(x)=asin2x-tanx(0≦x＜π/2)
とおく．
(1)a＞1/2であるとする．実数θを，0＜θ＜π/2かつf(θ)=0を満たすものとするとき，cosθをaを用いて表せ．
(2)不定積分
∫f(x)dx
を求めよ．
(3)1/2＜a＜1であるとする．このとき，
∫0^{π/4}|f(x)|dx+loga
をaの1次式で表せ．ただし，logは自然対数を表す・・・

　私立 福岡大学 2015年 第3問

曲線y=e^{-x2}上の3点P(0,1)，Q(t,e^{-t2})，R(-t,e^{-t2})を通る円をCとする．円Cの半径rをtの関数とみてr(t)と表すと，r(t)=[]である．また，極限\lim_{t→0}r(t)の値は[]である．ただし，eは自然対数の底とする．

　私立 福岡大学 2015年 第10問

関数f(x)=log(1+\sqrt{2+x})-1/2\sqrt{2+x}について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．
(1)関数y=f(x)の極値を求めよ．
(2)曲線y=f(x)および直線y=\frac{log3-1}{4}x+\frac{log3-1}{2}とで囲まれる部分の面積を求めよ．

　私立 学習院大学 2015年 第3問

関数
f(x)=\frac{logx}{x}(x＞0)
を考える．
(1)xが正の実数全体を動くとき，f(x)の最大値と，最大値を与えるxの値を求めよ．
(2)曲線y=f(x)の変曲点の座標を求めよ．
(3)不等式
∫1nf(x)dx＞2
を満たす最小の自然数nを求めよ．ただし，自然対数の底eは2.7＜e＜2.8を満たすことを用いてよい．

　国立 東北大学 2014年 第6問

以下の問いに答えよ．
(1)nを自然数，aを正の定数として，
f(x)=(n+1){log(a+x)-log(n+1)}-n(loga-logn)-logx
とおく．x＞0における関数f(x)の極値を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．
(2)nが2以上の自然数のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
1/nΣ_{k=1}n\frac{k+1}{k}＞(n+1)^{1/n}

　国立 熊本大学 2014年 第3問

以下の問いに答えよ．
(1)正の実数a,b,cについて，不等式
\frac{loga}{a}+\frac{logb}{b}+\frac{logc}{c}＜log4
が成立することを示せ．ただし，logは自然対数とし，必要ならe＞2.7およびlog2＞0.6を用いてもよい．
(2)自然数a,b,c,dの組で
a^{bc}b^{ca}c^{ab}=d^{abc},a≦b≦c,d≧3
を満たすものをすべて求めよ．

　国立 信州大学 2014年 第2問

関数f(x)=∫x^{x+1}|log(2-t)|dt(0＜x＜1)について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．
(1)f(x)の導関数を求めよ．
(2)f(x)を最小にするxの値を求めよ．

　国立 信州大学 2014年 第4問

f(x)=log(x+\sqrt{x2+1})とし，曲線y=f(x)をCとする．ただし，対数は自然対数である．
(1)f(x)の導関数を求めよ．
(2)曲線Cと直線y=1の交点Pの座標を求めよ．
(3)曲線C，直線y=1およびy軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ．

　国立 岩手大学 2014年 第6問

関数f(x)=\frac{logx}{√x}(x＞0)について，次の問いに答えよ．ただし，logxはxの自然対数，eは自然対数の底とする．
(1)極限\lim_{x→+0}f(x)を求めよ．
(2)y=f(x)の極値を求めよ．
(3)曲線y=|f(x)|とx軸および2直線x=1/e，x=eで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．