「自然対数」について

　国立 弘前大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)区間-1＜x＜1における
f(x)=log((1-x)^{1-x}(1+x)^{1+x})
の最小値を求めよ．ただし，対数は自然対数である．
(2)区間0≦x≦2πにおける
g(x)=cosx+1/2cos2x+1/3cos3x
の最大値，最小値を求めよ．

　国立 弘前大学 2013年 第2問

曲線y=ex+\frac{6}{ex+1}と直線y=4で囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，eは自然対数の底である．

　国立 岩手大学 2013年 第6問

実数a＞0とk＞0に対して2つの曲線
C1:y=ax3,C2:y=klogx(x＞0)
を考える．ここで，logxはxの自然対数とする．C1とC2がただ1点を共有し，その点における接線が一致するとき，次の問いに答えよ．
(1)共有点のx座標を求めよ．
(2)kをaを用いて表せ．
(3)k=4のとき，C1，C2およびx軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

　国立 岩手大学 2013年 第4問

実数a＞0とk＞0に対して2つの曲線
C1:y=ax2,C2:y=klogx(x＞0)
を考える．ここで，logxはxの自然対数とする．C1とC2がただ1点を共有し，その点における接線が一致するとき，次の問いに答えよ．
(1)共有点のx座標を求めよ．
(2)kをaを用いて表せ．
(3)k=2eのとき，C1，C2およびx軸で囲まれた部分をDとする．Dの面積Sを求めよ．ただし，eは自然対数の底とする．
(4)(3)のDをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．

　国立 佐賀大学 2013年 第3問

定数a,bと自然対数の底eに対して，f(x)=(ax+b)e^{-x}とおく．曲線y=f(x)は点(0,2)を通り，その点における接線の傾きは2であるとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)a,bの値を求めよ．
(2)関数f(x)の極値を求めよ．
(3)0≦x≦1の範囲において，曲線y=f(x)とx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ．

　国立 佐賀大学 2013年 第4問

関数f(x)=xe^{-2x}に関して次の問に答えよ．ただし，eは自然対数の底である．
(1)曲線y=f(x)の概形をかけ．必要ならば，\lim_{x→∞}xe^{-2x}=0を使ってよい．
(2)曲線y=f(x)の接線のうちで傾きが最小となるものをℓとする．その接線ℓの方程式と接点(a,f(a))を求めよ．
(3)x＜aにおいて，接線ℓは曲線y=f(x)より常に上側にあることを証明せよ．ただし，aは(2)で求めたものとする．
(4)曲線y=f(x)，接線ℓ，およびy軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ．・・・

　国立 九州工業大学 2013年 第3問

関数f(x)=logxがある．曲線y=f(x)の点(t,logt)における接線の方程式をy=g(x)とするとき，次に答えよ．ただし，対数は自然対数を表し，eは自然対数の底とする．
(1)x＞0のとき，不等式f(x)-g(x)≦0を証明せよ．
(2)t＞1/2のとき，∫_{t-1/2}^{t+1/2}f(x)dxと∫_{t-1/2}^{t+1/2}g(x)dxをそれぞれtを用いて表せ．
(3)自然数nに対して，n!と・・・

　国立 茨城大学 2013年 第1問

以下の各問に答えよ．
(1)関数f(x)=loga(ax)を微分せよ．ただし，a＞0かつa≠1とする．
(2)関数g(x)=∫1^{x2+1}t2(t-1)5dtを微分せよ．
(3)定積分∫01\frac{1-x}{1+x}dxを求めよ．
(4)定積分∫1e\frac{log√x}{√x}dxを求めよ．ただし，対数は自然対数であり，eは自然対数の底である．

　国立 東京農工大学 2013年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)f(x)=log(x+\sqrt{x2+1})とする．ただし，対数は自然対数とする．
(i)f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(ii)直線y=xと直線x=3/4および曲線y=f(x)で囲まれた部分の面積Sを求めよ．
(2)α=2/5πとする．
(i)cos3α=cos2αが成り立つことを用いて，cosαとcos2αの値を求めよ．
\mon[\tok・・・

　国立 三重大学 2013年 第4問

eで自然対数の底を表す．関数f(x)を
f(x)=log(x+\sqrt{x2+e})
で定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)関数f(x)を微分せよ．またf´(x)が偶関数であることを示せ．
(2)定積分
∫_{-1}1f(x)cos(π/2x)dx
を求めよ．
(3)数列{an}を
an=∫_{-1}1x^{2n}f(x)cos(π/2x)dx(n=1,2,3,・・・)
で定める．nを2以上とするとき，anとa_{n-1}の間に成り立つ関係式を求めよ．