「自然対数」について
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（8ページ目：全175問中71問～80問を表示）
xy平面において，曲線y=exと3直線y=x+1,x=1,x=-1で囲まれた部分をDとする．ただしeは自然対数の底である．次の各問いに答えよ．
(1)関数f(x)=ex-(x+1)の増減，極値，凹凸を-1≦x≦1の範囲で調べ，増減表にまとめよ．
(2)Dを図示せよ．
(3)Dをx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積Vを求めよ．
国立 宮崎大学 2013年 第1問次の各問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(i)y=\frac{x}{ex}\qquad(ii)y=log(\frac{2+sinx}{2-sinx})
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i)∫01\frac{2x2-x}{2x+1}dx
(ii)∫0^{\frac{\sqrt{π}}{2}}xcos(x2)dx
(iii)∫01x3log(x2+1)dx
\vspace{・・・
国立 九州工業大学 2013年 第2問関数f(x)=log(x2-x+2)(0≦x≦1)に対して，以下の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数を表している．
(1)y=f(x)(0≦x≦1)の極値を求めよ．
(2)xについての方程式log(x2-x+2)=xは1/2＜x＜1の範囲に実数解をただ1つもつことを示せ．必要であれば，log2＜0.7，log7＞1.9であることを用いてよい．
(3)y=f´(x)(0≦x≦1)の最大値と最小値を求めよ．
(4)平均値の定理を用いることで，0≦a＜b≦1となる実数a,b・・・
国立 岐阜大学 2013年 第4問正の整数nについて，x＞0で定義された関数fn(x)を次で定める．
\begin{array}{l}
f1(x)=xlogx\
f_{n+1}(x)=(n+1)∫1xfn(t)dt+\frac{1}{n+1}(x^{n+1}-1)
\end{array}
以下の問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数とする．
(1)関数f2(x)を求めよ．
(2)関数fn(x)の具体的な形を推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．
(3)g(x)=|f2(x)|-|x-1|とおくとき，g(x)がx=1で微分可能であることを証明せよ．また，微分係数g´(1)を求めよ．
\end・・・
国立 宮崎大学 2013年 第1問次の各問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(i)y=\frac{x}{ex}\qquad(ii)y=log(\frac{2+sinx}{2-sinx})
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i)∫01\frac{2x2-x}{2x+1}dx
(ii)∫0^{\frac{\sqrt{π}}{2}}xcos(x2)dx
(iii)∫01x3log(x2+1)dx
\vspace{・・・
私立 福岡大学 2013年 第7問a＞0とする．曲線C:y=a√x-logx(x＞0)がx軸に接するとするとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．
(1)aの値を求めよ．
(2)曲線Cと直線x=1およびx軸によって囲まれる部分の面積を求めよ．
私立 福岡大学 2013年 第8問関数f(x)=x(logx)2(x＞0)について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．
(1)この関数の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，増減表を書け．
(2)曲線y=f(x)と変曲点における接線，および直線x=1によって囲まれる部分の面積を求めよ．
私立 東京都市大学 2013年 第4問logは自然対数とし，関数f(x)をf(x)=log(2+cosx)(-π≦x≦π)とおく．次の問に答えよ．
(1)関数y=2+cosxとy=logxを微分せよ．
(2)関数f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(3)関数y=f(x)の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．
私立 東京都市大学 2013年 第2問次の問に答えよ．
(1)関数f(x)=x3+3ax2+3(10-3a)xが極値をもつような実数aの範囲を求めよ．
(2)曲線y=ex-2とx軸およびy軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)定積分∫_{π/6}^{π/3}(cosx)log(sinx)dxの値を求めよ．ただし，logは自然対数とする．
私立 東京都市大学 2013年 第2問次の問に答えよ．
(1)関数y=cos2xのグラフのx=π/3である点における接線の方程式を求めよ．
(2)定積分∫04xlog(x+1)dxの値を求めよ．ただし，logは自然対数とする．
(3)∫a1(\frac{2}{x2}-\frac{1}{x3})dx=0を満たす正の定数aをすべて求めよ．