「自然数」について

　問題集 センター試験 2015年 第2問

\kagiichi条件p1,p2,q1,q2の否定をそれぞれ\overline{p1},\overline{p2},\overline{q1},\overline{q2}と書く．
(1)次の[ア]に当てはまるものを，下の\nagamarurei～\nagamarusanのうちから一つ選べ．
命題「（p1かつp2）⇒（q1かつq2）」の対偶は[ア]である．
\nagamarurei（\overline{p1}または\overline{p2}）⇒（\overline{q1}または\overline{q2}）
\mon・・・

　国立 大阪大学 2015年 第1問

自然数nに対して関数fn(x)を
fn(x)=\frac{x}{n(1+x)}log(1+x/n)(x≧0)
で定める．以下の問いに答えよ．
(1)∫0nfn(x)dx≦∫01log(1+x)dxを示せ．
(2)数列{In}を
In=∫0nfn(x)dx
で定める．0≦x≦1のときlog(1+x)≦log2であることを用いて数列{In}が収束することを示し，その極限値を求めよ．ただし，\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}=0であることは・・・

　国立 北海道大学 2015年 第2問

p,qは正の実数とし，
a1=0,a_{n+1}=pan+(-q)^{n+1}(n=1,2,3,・・・)
によって定まる数列{an}がある．
(1)bn=\frac{an}{pn}とする．数列{bn}の一般項をp,q,nで表せ．
(2)q=1とする．すべての自然数nについてa_{n+1}≧anとなるようなpの値の範囲を求めよ．

　国立 北海道大学 2015年 第5問

nは自然数，aはa＞3/2をみたす実数とし，実数xの関数
f(x)=∫0x(x-θ)(asin^{n+1}θ-sin^{n-1}θ)dθ
を考える．ただし，n=1のときはsin^{n-1}θ=1とする．
(1)∫0^{π/2}sin^{n+1}θdθ=\frac{n}{n+1}∫0^{π/2}sin^{n-1}θdθを示せ．
(2)f´(π/2)=0をみたすnとaの値を求めよ．
(3)(2)で求めたn・・・

　国立 神戸大学 2015年 第2問

数列{an}，{bn}，{cn}がa1=5，b1=7をみたし，さらにすべての実数xとすべての自然数nに対して
x(a_{n+1}x+b_{n+1})=∫_{cn}^{x+cn}(ant+bn)dt
をみたすとする．以下の問に答えよ．
(1)数列{an}の一般項を求めよ．
(2)cn=3^{n-1}のとき，数列{bn}の一般項を求めよ．
(3)cn=nのとき，数列{bn}の一般項を求めよ．

　国立 神戸大学 2015年 第3問

a,b,cを1以上7以下の自然数とする．次の条件(*)を考える．
\mon[(*)]3辺の長さがa,b,cである三角形と，3辺の長さが1/a,1/b,1/cである三角形が両方とも存在する．
以下の問に答えよ．
(1)a=b＞cであり，かつ条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ．
(2)a＞b＞cであり，かつ条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ．
(3)条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ．
・・・

　国立 神戸大学 2015年 第4問

a,bを実数とし，自然数kに対してxk=\frac{2ak+6b}{k(k+1)(k+3)}とする．以下の問に答えよ．
(1)xk=p/k+\frac{q}{k+1}+\frac{r}{k+3}がすべての自然数kについて成り立つような実数p,q,rを，a,bを用いて表せ．
(2)b=0のとき，3以上の自然数nに対してΣ_{k=1}nxkを求めよ．
また，a=0のとき，4以上の自然数nに対してΣ_{k=1}nxkを求めよ．
(3)無限級数Σ_{k=1}^∞xk・・・

　国立 神戸大学 2015年 第5問

a,b,cを1以上7以下の自然数とする．次の条件(*)を考える．
\mon[(*)]3辺の長さがa,b,cである三角形と，3辺の長さが1/a,1/b,1/cである三角形が両方とも存在する．
以下の問に答えよ．
(1)a=b＞cであり，かつ条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ．
(2)a＞b＞cであり，かつ条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ．
(3)条件(*)をみたすa,b,cの組の個数を求めよ．
・・・

　国立 広島大学 2015年 第5問

m,nを自然数とする．次の問いに答えよ．
(1)m≧2，n≧2とする．異なるm種類の文字から重複を許してn個を選び，1列に並べる．このとき，ちょうど2種類の文字を含む文字列は何通りあるか求めよ．
(2)n≧3とする．3種類の文字a,b,cから重複を許してn個を選び，1列に並べる．このときa,b,cすべての文字を含む文字列は何通りあるか求めよ．
(3)n≧3とする．n人を最大3組までグループ分けする．このときできたグループ数が2である確率pnを求めよ．ただし・・・

　国立 広島大学 2015年 第2問

nを自然数とし，pn,qnを実数とする．ただし，p1,q1はp12-4q1=4を満たすとする．2次方程式x2-pnx+qn=0は異なる実数解αn,βnをもつとする．ただし，αn＜βnとする．cn=βn-αnとおくとき，数列{cn}は
\frac{c_{n+1}}{cn}=\frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}}(n=1,2,3,・・・)
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)rn=log2(n√n+√n)とするとき，\frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}}をrn,r_{n+1}を用いて表・・・