タグ「自然数」の検索結果
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nを自然数とする．白玉4個と赤玉8個が入っている袋から，玉を1個取り出し，色を見てからもとにもどす試行をn回繰り返すとき，白玉が偶数回出る確率をpnとする．ただし，0は偶数と考える．
(1)p_{n+1}をpnで表せ．
(2)数列{pn}の一般項を求めよ．
(3)極限\lim_{n→∞}pnを求めよ．
私立 北里大学 2015年 第4問自然数2520の正の約数の個数は[ケ]である．次に，自然数2520について，2520=ABCとなる3つの自然数A,B,Cの選び方を考える．3つの自然数がすべて偶数であるような選び方は[コ]通りある．また，3つの自然数がすべて20以下であるような選び方は[サ]通りある．
私立 北里大学 2015年 第5問{an}を数列とし，lを数直線とする．各自然数nに対して，座標がanであるようなl上の点をPnとする．次の2条件が成り立っているとする．
(i)a1=0，a2=1である．
(ii)点P_{n+2}は2点Pn，P_{n+1}を結ぶ線分の中点である（n=1,2,3,・・・）．
以下の問に答えよ．
(1)a3の値は[シ]，a4の値は[ス]である．
(2)bn=a_{n+1}-anとおくとき，数列{bn}の一般項はb・・・
私立 学習院大学 2015年 第3問関数
f(x)=\frac{logx}{x}(x＞0)
を考える．
(1)xが正の実数全体を動くとき，f(x)の最大値と，最大値を与えるxの値を求めよ．
(2)曲線y=f(x)の変曲点の座標を求めよ．
(3)不等式
∫1nf(x)dx＞2
を満たす最小の自然数nを求めよ．ただし，自然対数の底eは2.7＜e＜2.8を満たすことを用いてよい．
国立 東京大学 2014年 第2問aを自然数（すなわち1以上の整数）の定数とする．白球と赤球があわせて1個以上入っている袋Uに対して，次の操作(*)を考える．
\mon[(*)]袋Uから球を1個取り出し，
(i)取り出した球が白球のときは，袋Uの中身が白球a個，赤球1個となるようにする．
(ii)取り出した球が赤球のときは，その球を袋Uへ戻すことなく，袋Uの中身はそのままにする．
はじ・・・
国立 東京大学 2014年 第5問rを0以上の整数とし，数列{an}を次のように定める．
a1=r,a2=r+1,a_{n+2}=a_{n+1}(an+1)(n=1,2,3,・・・)
また，素数pを1つとり，anをpで割った余りをbnとする．ただし，0をpで割った余りは0とする．
(1)自然数nに対し，b_{n+2}はb_{n+1}(bn+1)をpで割った余りと一致することを示せ．
(2)r=2,p=17の場合に，10以下のすべての自然数nに対して，bnを求めよ．
(3)ある2つの相異なる自然数n,mに対して，
b_{n+1}=b_{m+1}＞0,\qu・・・ 国立 東京大学 2014年 第2問aを自然数（すなわち1以上の整数）の定数とする．白球と赤球があわせて1個以上入っている袋Uに対して，次の操作(*)を考える．
\mon[(*)]袋Uから球を1個取り出し，
(i)取り出した球が白球のときは，袋Uの中身が白球a個，赤球1個となるようにする．
(ii)取り出した球が赤球のときは，その球を袋Uへ戻すことなく，袋Uの中身はそのままにする．
はじ・・・
国立 東京大学 2014年 第4問rを0以上の整数とし，数列{an}を次のように定める．
a1=r,a2=r+1,a_{n+2}=a_{n+1}(an+1)(n=1,2,3,・・・)
また，素数pを1つとり，anをpで割った余りをbnとする．ただし，0をpで割った余りは0とする．
(1)自然数nに対し，b_{n+2}はb_{n+1}(bn+1)をpで割った余りと一致することを示せ．
(2)r=2,p=17の場合に，10以下のすべての自然数nに対して，bnを求めよ．
(3)ある2つの相異なる自然数n,mに対して，
b_{n+1}=b_{m+1}＞0,\qu・・・
国立 九州大学 2014年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)任意の自然数aに対し，a2を3で割った余りは0か1であることを証明せよ．
(2)自然数a,b,cがa2+b2=3c2を満たすと仮定すると，a,b,cはすべて3で割り切れなければならないことを証明せよ．
(3)a2+b2=3c2を満たす自然数a,b,cは存在しないことを証明せよ．
国立 九州大学 2014年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)任意の自然数aに対し，a2を3で割った余りは0か1であることを証明せよ．
(2)自然数a,b,cがa2+b2=3c2を満たすと仮定すると，a,b,cはすべて3で割り切れなければならないことを証明せよ．
(3)a2+b2=3c2を満たす自然数a,b,cは存在しないことを証明せよ．
