「自然数」について

　国立 神戸大学 2014年 第1問

2次方程式x2-x-1=0の2つの解をα,βとし，
cn=αn+βn,n=1,2,3,・・・
とおく．以下の問に答えよ．
(1)nを2以上の自然数とするとき，
c_{n+1}=cn+c_{n-1}
となることを示せ．
(2)曲線y=c1x3-c3x2-c2x+c4の極値を求めよ．
(3)曲線y=c1x2-c3x+c2と，x軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

　国立 神戸大学 2014年 第2問

m,n(m＜n)を自然数とし，
a=n2-m2,b=2mn,c=n2+m2
とおく．三辺の長さがa,b,cである三角形の内接円の半径をrとし，その三角形の面積をSとする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)a2+b2=c2を示せ．
(2)rをm,nを用いて表せ．
(3)rが素数のときに，Sをrを用いて表せ．
(4)rが素数のときに，Sが6で割り切れることを示せ．

　国立 神戸大学 2014年 第2問

m,n(m＜n)を自然数とし，
a=n2-m2,b=2mn,c=n2+m2
とおく．三辺の長さがa,b,cである三角形の内接円の半径をrとし，その三角形の面積をSとする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)a2+b2=c2を示せ．
(2)rをm,nを用いて表せ．
(3)rが素数のときに，Sをrを用いて表せ．
(4)rが素数のときに，Sが6で割り切れることを示せ．

　国立 神戸大学 2014年 第4問

nを自然数とする．1から2nまでの番号をつけた2n枚のカードを袋に入れ，よくかき混ぜてn枚を取り出し，取り出したn枚のカードの数字の合計をA，残されたn枚のカードの数字の合計をBとする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)nが奇数のとき，AとBが等しくないことを示せ．
(2)nが偶数のとき，AとBの差は偶数であることを示せ．
(3)n=4のとき，AとBが等しい確率を求めよ．

　国立 北海道大学 2014年 第3問

逆行列をもつ2次の正方行列，A1,A2,A3,・・・が，関係式
A_{n+1}An=An+2E(n=1,2,3,・・・)
をみたすとする．さらにA1+Eは逆行列をもつとする．ここでEは2次の単位行列とする．
(1)すべての自然数nに対してAn+Eは逆行列をもち，
(A_{n+1}+E)^{-1}=1/2An(An+E)^{-1}
が成立することを示せ．
(2)Bn=(2E-An)(An+E)^{-1}により，行列Bnを定める．B_{n+1}とBnとの間に成立する関係式を求め，BnをB1とnを用いて表せ．

　国立 広島大学 2014年 第1問

a,bを実数，a＞0として，行列A=(\begin{array}{cc}
a&2\
-2&b
\end{array})の定める1次変換をfとする．fによって，点P(1,0)が点P1に移され，点P1が点P2に移されるものとする．Pが線分P1P2の中点であるとき，次の問いに答えよ．
(1)a,bを求めよ．
(2)ある実数cに対してcベクトルOP+ベクトルOP1=(v1,v2)とすると，
A(\begin{array}{c}
v1\
v2
\end{array})=(\begin{array}{c・・・

　国立 千葉大学 2014年 第1問

袋の中に，赤玉が3個，白玉が7個が入っている．袋から玉を無作為に1つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行をN回繰り返したときに，赤玉をA回（ただし0≦A≦N）取り出す確率をp(N,A)とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)確率p(N,A)をNとAを用いて表せ．
(2)Nが10の倍数，すなわちN=10nとなる自然数nがあるとする．確率p(10n,0)，p(10n,1)，・・・，p(10n,10n)のうち，一番大きな値はp(10n,3n)であることを次の手順に・・・

　国立 千葉大学 2014年 第6問

自然数nに対して，和
Sn=1+1/2+1/3+・・・+1/n
を考える．
(1)各自然数nに対して2k≦nをみたす最大の整数kをf(n)で表すとき，2つの奇数an,bnが存在して
Sn=\frac{an}{2^{f(n)}bn}
と表されることを示せ．
(2)n≧2のときSnは整数にならないことを示せ．
(3)さらに，自然数m,n(m＜n)に対して，和
S_{m,n}=1/m+\frac{1}{m+1}+・・・+1/n
を考える．S_{m,n}はどんなm,n(m＜n)に対しても整数にならな・・・

　国立 東北大学 2014年 第6問

以下の問いに答えよ．
(1)nを自然数，aを正の定数として，
f(x)=(n+1){log(a+x)-log(n+1)}-n(loga-logn)-logx
とおく．x＞0における関数f(x)の極値を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．
(2)nが2以上の自然数のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
1/nΣ_{k=1}n\frac{k+1}{k}＞(n+1)^{1/n}

　国立 熊本大学 2014年 第3問

以下の問いに答えよ．
(1)正の実数a,b,cについて，不等式
\frac{loga}{a}+\frac{logb}{b}+\frac{logc}{c}＜log4
が成立することを示せ．ただし，logは自然対数とし，必要ならe＞2.7およびlog2＞0.6を用いてもよい．
(2)自然数a,b,c,dの組で
a^{bc}b^{ca}c^{ab}=d^{abc},a≦b≦c,d≧3
を満たすものをすべて求めよ．