「自然数」について

　国立 熊本大学 2014年 第3問

rをr＞1である実数とし，数列{an}を次で定める．
a1=1,a_{n+1}=\frac{an+r2}{an+1}
以下の問いに答えよ．
(1)nが奇数のときan＜r，nが偶数のときan＞rであることを示せ．
(2)任意の自然数nについて，a_{n+2}-rをanとrを用いて表せ．
(3)任意の自然数nについて，次の不等式を示せ．
\frac{a_{2n+2}-r}{a_{2n}-r}＜(\frac{r-1}{r+1})2
(4)\lim_{n→∞}a_{2n}および\lim_{n→∞}a_{2n+1}を求めよ．
\end{・・・

　国立 新潟大学 2014年 第3問

a,b,cを実数とする．行列A=(\begin{array}{rr}
2&1\
a&-3
\end{array})，P=(\begin{array}{rr}
2&1\
2&-6
\end{array})はP^{-1}AP=(\begin{array}{rr}
3&b\
0&c
\end{array})を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)a,b,cの値を求めよ．
(2)Aは逆行列をもつことを示し，Aの逆行列A^{-1}を求めよ．
(3)自然数nに対して，Anを求めよ．
(4)自然数nに対して，(A+6A^{-1})nを求めよ．

　国立 新潟大学 2014年 第5問

自然数nに対して，an=∫01\frac{x2+(-x2)^{n+1}}{1+x2}dxとおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)自然数nに対して，不等式
|∫01\frac{x2|{1+x2}dx-an}≦\frac{1}{2n+3}
が成り立つことを示せ．
(2)定積分∫01\frac{x2}{1+x2}dxを求めよ．
(3)自然数nに対して，an=Σ_{k=1}n\frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}となることを示せ．
(4)極限値\displayst・・・

　国立 金沢大学 2014年 第4問

自然数が1つずつ書かれている玉が，
①①②①②③①②③④①②③④⑤①②・・・・・・
のように1列に並べられている．次の問いに答えよ．
(1)数100が書かれた玉が最初に現れるのは何番目か．
(2)自然数nに対し，2n2番目の玉に書かれている数は何か．
(3)1番目から2n2番目までの玉をすべて袋に入・・・

　国立 信州大学 2014年 第4問

次の各問いに答えよ．
(1)3つのベクトルベクトルa=(2,1,1)，ベクトルb=(2,s,t)，ベクトルc=(p,q,2)が次の条件をみたすような，s,t,p,qの値を求めよ．
(i)|ベクトルa|=|ベクトルb|
(ii)ベクトルaとベクトルbのなす角は60°
(iii)ベクトルcはベクトルaとベクトルbの両方に直交する．
(2)nを0以上の整数とする．n+1個の自然数20,21,・・・,2nの中に，最上位の桁の・・・

　国立 名古屋工業大学 2014年 第3問

実数a,b,c,dについて
(a-d)2+4bc=0
が成立している．このとき行列
E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array}),A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array}),B=A-\frac{a+d}{2}E
について，以下の問いに答えよ．ただしA≠\frac{a+d}{2}Eとする．
(1)行列B2を求めよ．
(2)自然数nに対して
An=pA+qE
となる実数p,qをnとa,b,c,dで表せ．
(3)行列Aが次をみたすとき，Aを求めよ．
A5・・・

　国立 岩手大学 2014年 第2問

nを自然数とし，次の漸化式で2つの数列{an}，{bn}を定める．
a1=1,a2=1,a_{n+2}=2an(n=1,2,3,・・・)
b1=1,b2=1,b3=1,b_{n+3}=3bn(n=1,2,3,・・・)
以下の問いに答えよ．ただし，必要ならば，log_{10}2=0.3010，log_{10}3=0.4771を用いよ．
(1){an}と{bn}の最初の6項をそれぞれ求めよ．
(2)a_{n+6}=8anとなることを示せ．
(3)mを0以上の整数とするとき，a_{6m+1}とb_{6m+1}を・・・

　国立 岩手大学 2014年 第6問

次の問いに答えよ．
(1)xy+y2+xz+yzを因数分解せよ．
(2)a,b,c(a＜b＜c)は連続した自然数とする．このとき
ab+b2+ac+bc
を4で割った余りが3であることを示せ．
(3)a,b,c(a＜b＜c)は連続した自然数とする．このとき
a2b+a2c+ab2+b2c+bc2+ac2+2abc
は6の倍数であることを示せ．

　国立 帯広畜産大学 2014年 第1問

2次方程式x2-x-1=0の解をα,β(α＞β)とし，
(\begin{array}{c}
an\
bn
\end{array})=(\begin{array}{cc}
\frac{√5}{5}&-\frac{√5}{5}\
1&1
\end{array})(\begin{array}{c}
αn\
βn
\end{array})
によって数列{an}，{bn}を定義する．ただし，nは自然数である．次の各問に答えなさい．
(1)次の各問に答えなさい．
(i)\al・・・

　国立 長岡技術科学大学 2014年 第1問

下の問いに答えなさい．
(1)nを自然数とする．それぞれに1,10,100,・・・,10^{n-1}が書かれたn枚のカードが袋の中に入っている．この袋から1枚のカードを取り出し，書かれた数をXとするとき，Xの期待値を求めなさい．
(2)nを2以上の自然数とする．それぞれに1,10,100,・・・,10^{n-1}が書かれたn枚のカードが袋の中に入っている．この袋から同時に2枚のカードを取り出し，書かれた数の和をYとするとき，Yの期待値を求めなさい．