「自然数」について

　国立 長岡技術科学大学 2014年 第2問

Aを2次の正方行列とし，Oを2次の零行列，Eを2次の単位行列とする．P=A-Eとおいたとき，P2=Oが成り立っているとする．下の問いに答えなさい．
(1)等式A2=2P+EとA3=3P+Eを示しなさい．
(2)自然数nに対してAnをPとEで表しなさい．
(3)A=(\begin{array}{cc}
2&1\
-1&0
\end{array})のとき，自然数nに対してAnを求めなさい．

　国立 東京医科歯科大学 2014年 第1問

自然数nに対し，3個の数字1,2,3から重複を許してn個並べたもの(x1,x2,・・・,xn)の全体の集合をSnとおく．Snの要素(x1,x2,・・・,xn)に対し，次の2つの条件を考える．
条件C_{12}：1≦i＜j≦nである整数i,jの組で，xi=1，xj=2を満たすものが少なくとも1つ存在する．
条件C_{123}：1≦i＜j＜k≦nである整数i,j,kの組で，xi=1，xj=2，xk=3を満たすものが少なくとも1つ存在する．
例えば，・・・

　国立 東京医科歯科大学 2014年 第3問

aを正の実数，kを自然数とし，x＞0で定義される関数
f(x)=∫a^{ax}\frac{k+\sqrt[k]{u}}{ku}du
を考える．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)f(x)の増減および凹凸を調べ，y=f(x)のグラフの概形をかけ．
(2)y=f(x)のx=1における接線の方程式を求めよ．
(3)Sを正の実数とするとき，f(p)=Sを満たす実数pがただ1つ存在することを示せ．
(4)b=\frac{k}{k+\sqrt[k]{a}}とおくとき，(2)のS,pについて，次の不等式が成立することを示せ．
1+bS＜p＜e^{bS}
\e・・・

　国立 福岡教育大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)0≦x≦π，0≦y≦πのとき，連立方程式
3sinx-siny=√3,3cosx+cosy=-1
を解け．
(2)a,b,cを実数とする．a+b+c=1/a+1/b+1/c=1であるとき，a,b,cのうち少なくとも1つは1に等しいことを示せ．
(3)0,1,2,3,4,5の数字が1つずつ記入された6枚のカードが入っている箱から1枚ずつ3枚のカードを取り出し，左から並べて自然数nを作るとき，次の(i)，\toke・・・

　国立 福岡教育大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)0≦x≦π，0≦y≦πのとき，連立方程式
3sinx-siny=√3,3cosx+cosy=-1
を解け．
(2)a,b,cを実数とする．a+b+c=1/a+1/b+1/c=1であるとき，a,b,cのうち少なくとも1つは1に等しいことを示せ．
(3)0,1,2,3,4,5の数字が1つずつ記入された6枚のカードが入っている箱から1枚ずつ3枚のカードを取り出し，左から並べて自然数nを作るとき，次の(i)，\toke・・・

　国立 佐賀大学 2014年 第1問

以下の問に答えよ．
(1)0以上の整数nに対して，2次方程式x2+2(n-5)x+n2-n=0が実数解をもつとする．このとき，nの値をすべて求めよ．
(2)二桁の自然数で，一の位の数と十の位の数の和の2乗がもとの二桁の自然数になるような数をすべて求めよ．

　国立 佐賀大学 2014年 第3問

行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
b&c
\end{array})に対して，ベクトルベクトルu=(p,q)，ベクトルv=(r,s)は
|ベクトルu|=|ベクトルv|=1,A(\begin{array}{c}
p\
q
\end{array})=α(\begin{array}{c}
p\
q
\end{array}),A(\begin{array}{c}
r\
s
\end{array})=β(\begin{array}{c}
r\
s
\end{array})
を満たすとする．ただし，α,βは相異なる実数である．このとき，次の問に答えよ．
\begi・・・

　国立 鹿児島大学 2014年 第5問

次の各問いに答えよ．
(1)座標平面上での原点を中心とする{150}°の回転移動を表す行列をPとする．点(x,y)がPの表す移動によって，点(2,4)に移ったとする．このとき，点(x,y)を求めよ．
(2)(1)で与えられた行列Pを考える．Pn=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})を満たす最小の自然数nを求めよ．
(3)以下の各命題の反例をあげよ．また，反例になっていることを示せ．ただし，X,Yは2次の正方行列とする．
(i)XY=Y・・・

　国立 弘前大学 2014年 第2問

f(x)=x/{2x}とし，f´(x)をf(x)の導関数とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)定数cを0≦c≦2とする．このとき，0≦x≦2を満たすxに対して，不等式
f(x)≦f´(c)(x-c)+f(c)
が成り立つことを示せ．また，等号が成立するのはどのようなときか述べよ．
(2)nを自然数とする．x1,x2,・・・,xnは0以上の実数で，x1+x2+・・・+xn=2を満たすとする．このとき，不等式
f(x1)+f(x2)+・・・+f(xn)≦nf・・・

　国立 弘前大学 2014年 第3問

行列A=(\begin{array}{cc}
2&-2\
-1&3
\end{array}),E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})について，次の問いに答えよ．
(1)4P+Q=AとP+Q=Eを満たす2次正方行列P,Qを求めよ．
(2)(1)で求めたP,Qに対して，PQ,QPを求めよ．
(3)自然数nに対して，Anを求めよ．
(4)Anの逆行列をBn=(\begin{array}{cc}
an&bn\
cn&dn
\end{array})とする．極限値\lim_{n→∞}an，・・・