「自然数」について

　国立 弘前大学 2014年 第4問

数列{an},{bn}を，
{\begin{array}{lll}
a1=1,&a_{n+1}=\sqrt{2bn+1}&(n=1,2,3,・・・)\
b1=3,&b_{n+1}=\sqrt{2an+1}&(n=1,2,3,・・・)\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}.
と定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)α=1+√2とする．自然数nに対して，不等式|a_{n+1|-α}≦(\frac{2}{1+α})|bn-α|が成り立つことを示せ．
(2)極限値\lim_{n→∞}an，\・・・

　国立 弘前大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)a+b+c+d=10を満たす自然数a,b,c,dの組の総数を求めよ．
(2)|a|+|b|+|c|+|d|=10を満たし，どれも0とはならない整数a,b,c,dの組の総数を求めよ．
(3)|a|+|b|+|c|+|d|=10を満たす整数a,b,c,dの組の総数を求めよ．

　国立 鳴門教育大学 2014年 第1問

a＜\frac{√7+√3}{√7-√3}＜a+1をみたす自然数aに対し，次の問いに答えなさい．
(1)aを求めなさい．
(2)10(\frac{√7+√3}{√7-√3}-a)の整数部分を求めなさい．

　国立 滋賀大学 2014年 第2問

2つの数列{an},{bn}を以下のように定める．
a1=a,a_{2n}=a_{2n-1}+d,a_{2n+1}=ra_{2n}(n=1,2,3,・・・)
b1=a,b_{2n}=rb_{2n-1},b_{2n+1}=b_{2n}+d(n=1,2,3,・・・)
ただし，a≠0，r≠0，r≠1とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)a=3，d=1，r=2のとき，b9を求めよ．
(2)数学的帰納法を用いて，すべての自然数nに対して次が成り立つことを示せ．
a_{2n}=ar^{n-1}+\frac{d(rn-・・・

　国立 徳島大学 2014年 第4問

x0=1，y0=0とする．nが自然数のとき，座標平面上の点P_{n-1}(x_{n-1},y_{n-1})は行列(\begin{array}{cc}
1/2&-2/3\
2/3&1/2
\end{array})の表す1次変換によって点Pn(xn,yn)に移されるとする．点P_{n-1}と点Pnの距離をlnとする．
（プレビューでは図は省略します）
(1)l1を求めよ．
(2)lnをx_{n-1},y_{n-1}の式で表せ．
(3)\frac{l・・・

　国立 大阪教育大学 2014年 第1問

α,βは正の実数とする．次の条件によって定義される数列{an},{bn}について，以下の問に答えよ．
a1=α,b1=β,
a_{n+1}=αan-βbn,b_{n+1}=βan+αbn(n=1,2,3,・・・)
(1)α2+β2≦1が成り立つならば，任意の自然数nに対して{an}2+{bn}2≦1が成り立つことを示せ．
(2)α=cosθ,β=sinθ(0＜θ＜π/2)と・・・

　国立 愛知教育大学 2014年 第8問

A=(\begin{array}{cc}
2&-2\
0&1
\end{array})，B=(\begin{array}{cc}
1&1\
0&1
\end{array})とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)自然数nに対して，(AB)nを推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．
(2)自然数nに対して，(BA)nを求めよ．

　国立 富山大学 2014年 第2問

pを素数とするとき，次の問いに答えよ．
(1)自然数kが1≦k≦p-1を満たすとき，\comb{p}{k}はpで割り切れることを示せ．ただし，\comb{p}{k}はp個のものからk個取った組合せの総数である．
(2)nを自然数とするとき，nに関する数学的帰納法を用いて，np-nはpで割り切れることを示せ．
(3)nがpの倍数でないとき，n^{p-1}-1はpで割り切れることを示せ．

　国立 大分大学 2014年 第3問

100から999までの自然数の集合を全体集合Uとし，そのうち14で割ると3余るものの集合をA，9の倍数の集合をBとおく．
(1)A,Bの要素の個数を求めなさい．
(2)A∩Bの要素のうち，最小のものと最大のものを求めなさい．
(3)Uの要素が1つずつ書かれた玉の入った袋から玉を2個取り出す．このとき，2個の玉に書かれている数がいずれも14で割ると3余り，かつ9で割り切れない場合の確率を求めなさい．

　国立 大分大学 2014年 第4問

100から999までの自然数の集合を全体集合Uとし，そのうち14で割ると3余るものの集合をA，9の倍数の集合をBとおく．
(1)A,Bの要素の個数を求めなさい．
(2)A∩Bの要素のうち，最小のものと最大のものを求めなさい．
(3)Uの要素が1つずつ書かれた玉の入った袋から玉を2個取り出す．このとき，2個の玉に書かれている数がいずれも14で割ると3余り，かつ9で割り切れない場合の確率を求めなさい．