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次の一連の問いに答えなさい．
(1)自然数mに対して，x＞0のときex＞\frac{xm}{m!}であることを示しなさい．
(2)自然数nに対して，\lim_{x→∞}\frac{xn}{ex}=0を示しなさい．
(3)自然数nに対して\GammaK(n)=∫0Kx^{n-1}e^{-x}dxとするとき，\lim_{K→∞}\GammaK(n)を求めなさい．
国立 東京海洋大学 2014年 第1問次の問に答えよ．
(1)3次関数f(x)=x3-x2+12の極値を求め，y=f(x)のグラフをかけ．
(2)数列{an}を
a1=2,a_{n+1}=1/12({an}3-{an}2+12)(n=1,2,3,・・・)
で定めるとき，すべての自然数nに対して，1＜an＜3が成り立つことを示せ．
(3){an}を(2)で定められた数列とするとき，すべての自然数nに対して，a_{n+1}＜anが成り立つことを示せ．
国立 山形大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)2次方程式x2-3x+4=0の2つの解をα,βとするとき，\frac{β}{α-1}+\frac{α}{β-1}の値を求めよ．
(2)xが自然数のとき，不等式(√x-√2)2＜1を満たすxの値をすべて求めよ．
(3)△ABCの内部の点Pについて，4ベクトルPA+3ベクトルPB+5ベクトルPC=ベクトル0が成り立っている．△ABCの面積が1であるとき，△PABの面積を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第3問行列A=(\begin{array}{cc}
-1&-6\
8&13
\end{array})，B=(\begin{array}{cc}
5&0\
0&a
\end{array})，P=(\begin{array}{cc}
1&b\
-1&4
\end{array})が等式AP=PBを満たしている．次の問いに答えよ．ただし，a,bは実数で，b≠-4とする．
(1)行列Pの逆行列をbを用いて表せ．
(2)a,bの値を求めよ．
(3)自然数nに対して，Anを求めよ．
国立 山形大学 2014年 第4問△A1B1Cは，B1C=√2，∠B1A1C=π/2，∠A1B1C=θ(0＜θ＜π/2)を満たす．下図のように，点A1から辺B1Cに下ろした垂線をA1B2とし，点B2から辺A1Cに下ろした垂線をB2A2とする．次に，点A2から辺B1Cに下ろした垂線をA2B3・・・
国立 徳島大学 2014年 第1問A=(\begin{array}{cc}
3/4&1/2\
1/4&1/2
\end{array})とし，行列Aで表される1次変換をfとする．fによって点P(0,1)が点P1(x1,y1)に移されるとする．さらに，n=1,2,3,・・・に対して，点Pn(xn,yn)がfによって点P_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})に移されるとする．
(1)すべての自然数nについて，点Pnは直線x+y=1上にあることを証明せよ・・・ 国立 徳島大学 2014年 第3問n枚のカードに1からnまでの自然数がひとつずつ書かれている．異なるカードには異なる数が書かれている．これらn枚のカードを横一列に並べて，左端からi番目（1≦i≦n）のカードに書かれた数をaiとする．
(1)n=5のとき，a1＜a2＜a3かつa3＞a4＞a5を満たすカードの並べ方の総数を求めよ．
(2)n≧3とする．次の条件(i)，(ii)を満たすカードの並べ方の総数をnの式で表せ．ただし，(ii)では，k=2のときa1＜a2＜・・・＜akはa1＜a2を表し，k=n-1のと・・・
国立 徳島大学 2014年 第4問pを素数とする．初項，公差がともに5pの等差数列を{an}とする．数列{bn}は公差がpの等差数列でΣ_{n=1}pan=a1+ap+5Σ_{n=1}pbnを満たす．
(1)b1を求めよ．
(2)p=2のとき，\frac{an}{bn}の値が自然数となるようなnをすべて求めよ．
(3)p≧3とする．\frac{an}{bn}の値が自然数となるようなpとnの組(p,n)をすべて求めよ．
国立 香川大学 2014年 第3問自然数nに対して，座標平面上の点Pnを次のように帰納的に定める．点P1の座標を(1,1)とし，原点Oを中心として線分OPnを反時計回りに{90}°回転させてできる線分をOQnとし，線分OQnの中点をP_{n+1}とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点P2，P3，P4，P5の座標を求めよ．
(2)kを自然数とするとき，点P_{4k+1}の座標をkを用いて表せ．
(3)点Xnを
ベクトルOXn=ベクトルOP1+\vect・・・ 国立 香川大学 2014年 第3問自然数nに対して，座標平面上の点Pnを次のように帰納的に定める．点P1の座標を(1,1)とし，原点Oを中心として線分OPnを反時計回りに{90}°回転させてできる線分をOQnとし，線分OQnの中点をP_{n+1}とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点P2，P3，P4，P5の座標を求めよ．
(2)kを自然数とするとき，点P_{4k+1}の座標をkを用いて表せ．
(3)点Xnを
ベクトルOXn=ベクトルOP1+\vect・・・
