「自然数」について

　国立 香川大学 2014年 第3問

自然数nに対して，座標平面上の点Pnを次のように帰納的に定める．点P1の座標を(1,1)とし，原点Oを中心として線分OPnを反時計回りに{90}°回転させてできる線分をOQnとし，線分OQnの中点をP_{n+1}とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点P2，P3，P4，P5の座標を求めよ．
(2)kを自然数とするとき，点P_{4k+1}の座標をkを用いて表せ．
(3)点Xnを
ベクトルOXn=ベクトルOP1+\vect・・・

　国立 香川大学 2014年 第2問

行列A=(\begin{array}{cc}
0&-1\
2&3
\end{array})について，次の問に答えよ．ただし，E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})とする．
(1)A2-3A+2Eを求めよ．
(2)自然数nに対して，E+A+A2+・・・+An=anA+bnEとなる実数an，bnをそれぞれnを用いて表せ．

　国立 群馬大学 2014年 第4問

nを自然数とする．5832を底とするnの対数log_{5832}nが有理数であり1/2＜log_{5832}n＜1を満たすとき，nを求めよ．

　国立 群馬大学 2014年 第2問

kを自然数とする．数列{an}において，初めのk項の和をT1，次のk項の和をT2，その次のk項の和をT3とし，以下同様にT4,T5,・・・を定めるとき，次の問いに答えよ．
(1){an}が等比数列でk=4とする．T1=5，T2=80のとき，{an}の一般項を求めよ．ただし，公比は実数とする．
(2){an}が等差数列ならば{Tn}も等差数列であることを証明せよ．

　国立 宮城教育大学 2014年 第1問

1≦n＜mをみたす自然数の組を(m,n)と表し，これらを次の規則で順番に並べる．
(i)1番目は組(2,1)とする．
(ii)k番目が組(m,n)のとき，
n＜m-1ならば，k+1番目は組(m,n+1)とし，
n=m-1ならば，k+1番目は組(m+1,1)とする．
例えば，2番目の組は(3,1)，3番目の組は(3,2)，4番目の組は(4,1)，5番目の組は(4,2)となる．次の問いに答えよ．
(1)20番目の自然数の組を求めよ．
\mon・・・

　国立 九州工業大学 2014年 第2問

A+B=E，AB=Oをみたす2×2行列A,Bを考える．ただし，Eは単位行列，Oは零行列である．以下の問いに答えよ．
(1)A2=A，B2=B，BA=Oとなることを示せ．
(2)(A+αB)n=A+knBをみたす実数knを推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，αは実数であり，nは自然数である．
(3)A+αB=(\begin{array}{cc}
-1&-3\
2&4
\end{array})であるとき，A,Bと実数αを求めよ．

　国立 富山大学 2014年 第1問

自然数nに対して，fn(x)=∫0x\frac{dt}{(t2+1)n}とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)f1(1)を求めよ．
(2)g(x)=f1(1/x)とおく．g´(x)を求め，x＞0のとき
f1(x)+g(x)=π/2
が成り立つことを示せ．
(3)\lim_{x→∞}f1(x)を求めよ．
(4)部分積分法を用いて，
fn(x)=\frac{x}{(x2+1)n}+2nfn(x)-2nf_{n+1}(x)
が成り立つことを示せ．
(5)\lim_{x→∞}fn・・・

　国立 秋田大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)次の式を，実数の範囲で因数分解せよ．
6(x+3)(x+4)(x+6)(x+8)-(x+1)(x+2)(x+12)(x+24)
(2)nを自然数，A,Bを整数とする．多項式x^{2n}-4x8+Ax+Bがx2-x+1で割り切れるように，A,Bの値を定めよ．

　国立 浜松医科大学 2014年 第3問

以下の問いに答えよ．
(1)rは自然数，nはrより大きい整数とする．2項係数\comb{k+r}{r}(k=0,1,・・・,n-r)の次の等式を示せ．
Σ_{k=0}^{n-r}\comb{k+r}{r}=\comb{n+1}{r+1}
以下整数n(n≧2)に対し，次の確率分布に従う確率変数Xを考える．
P(X=k)=\frac{\comb{k+1}{1}}{\comb{n+1}{2}}(k=0,1,・・・,n-1)
(2)Xの期待値\mun=E(X)を求めよ．また，P(X≧m)≧1/2を満たす最大の整数mをMnとするとき，極限値\d・・・

　国立 山形大学 2014年 第4問

行列A=(\begin{array}{cc}
7&-4\
5&-2
\end{array})について，次の問に答えよ．ただし，nは自然数とする．
(1)P=(\begin{array}{cc}
4&1\
5&1
\end{array})とするとき，P^{-1}APを求めよ．
(2)Anを求めよ．
(3)数列{an}を漸化式a1=2，a_{n+1}=\frac{7an-4}{5an-2}で定める．
(i)An=(\begin{array}{cc}
pn&qn\
rn&sn
\end{array})とおくとき，A^{n+1}=AAnである・・・