「自然数」について

　国立 山口大学 2014年 第1問

a,bを実数とする．行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
b&a
\end{array})について，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数nに対して，
An=(\begin{array}{cc}
an&bn\
bn&an
\end{array})
となる実数an,bnがあることを数学的帰納法で示し，an，bnを用いてa_{n+1}，b_{n+1}を表しなさい．
(2)cn=an+bn，dn=an-bnとおく．数列{cn}の漸化式と数列{dn}の漸化式をそれぞれ求め，a,b,nを用いてcn,dnを表しなさ・・・

　国立 山口大学 2014年 第3問

a,bを実数とする．行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
b&a
\end{array})について，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数nに対して，
An=(\begin{array}{cc}
an&bn\
bn&an
\end{array})
となる実数an,bnがあることを数学的帰納法で示し，an，bnを用いてa_{n+1}，b_{n+1}を表しなさい．
(2)cn=an+bn，dn=an-bnとおく．数列{cn}の漸化式と数列{dn}の漸化式をそれぞれ求め，a,b,nを用いてcn,dnを表しなさ・・・

　国立 山口大学 2014年 第3問

次の問いに答えなさい．
(1)2つの整数a,bが1+√2=a+b√2を満たすならば，a=b=1であることを示しなさい．ただし，√2が無理数であることは示さなくてよい．
(2)kを自然数とする．2つの整数a,bが(1+√2)^{k+1}=a+b√2を満たしているとき，(1+√2)k=a´+b´√2を満たす整数a´,b´をa,bを用いて表しなさい．
(3)すべての自然数nに対して，
命題「2つの整数a,bが(1+√2)n=a+b√2を満たしている・・・

　国立 島根大学 2014年 第4問

E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})，O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})とおく．xを実数とし，行列
X=(\begin{array}{cc}
3x-1&2x-1\
-3x+2&-2x+2
\end{array})
を定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)自然数nに対してXのn乗をXn=(\begin{array}{cc}
Pn(x)&Qn(x)\
Rn(x)&Sn(x)
\end{array})とおく．このとき，すべてのnに対して，x=1/2のとき，Qn・・・

　国立 島根大学 2014年 第3問

E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})，O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})とおく．xを実数とし，行列
X=(\begin{array}{cc}
3x-1&2x-1\
-3x+2&-2x+2
\end{array})
を定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)自然数nに対してXのn乗をXn=(\begin{array}{cc}
Pn(x)&Qn(x)\
Rn(x)&Sn(x)
\end{array})とおく．このとき，すべてのnに対して，x=1/2のとき，Qn・・・

　国立 島根大学 2014年 第4問

a,b,c,nを自然数とし，a≦b≦cかつn(a+b+c)=abcをみたすとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)a=b=cのとき，nは3の倍数であることを示せ．
(2)n=3のとき，自然数の組(a,b,c)をすべて求めよ．

　国立 茨城大学 2014年 第1問

下の図は自然数の平方数を三角形状に順に並べたものである．各平方数については，第n段目の第m項と呼ぶことにする．例えば，第4段目の第2項と呼ばれる平方数は64である．このとき，次の各問に答えよ．
\begin{center}
\begin{tabular}{ccccccccccc}
&&&&&1&&&&&\
&&&&4&&9&&&&\
&&&16&&25&&36&&&\
&&49&&64&&81&&100&&\
&121&&144&&169&&196&&225&\
・・・&&・・・&&・・・&&・・・&&・・・&&\・・・

　国立 茨城大学 2014年 第2問

次の各問に答えよ．ここで，必要ならば0.301＜log_{10}2＜0.302であることを用いてもよい．
(1)k≦log_{√2}25＜k+1を満たす自然数kを求めよ．
(2)8nの桁数が26以上になる最小の自然数nを求めよ．例えば，2014の桁数は4である．

　国立 茨城大学 2014年 第3問

A,Eはそれぞれ行列(\begin{array}{cc}
2&4\
1&-1
\end{array})，(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})を表す．以下の各問に答えよ．
(1)A(A+2E)=a1(A+2E)，A(A-3E)=b1(A-3E)となる数a1，b1を求めよ．
(2)各自然数nに対して
An(A+2E)=an(A+2E),An(A-3E)=bn(A-3E)
となる数an,bnを求めよ．
(3)各自然数nに対して，An=cnA+dnEとなる数cn,dnを求めよ．
(4)極限値\lim_{n→∞}\frac{d・・・

　国立 宮崎大学 2014年 第5問

座標平面において，x座標とy座標がともに整数である点を格子点という．nを自然数とし，放物線y=x2，直線x=nおよびx軸で囲まれた図形をSnとする．Snの境界上にある格子点の個数をanとし，Snの境界を除いた内部にある格子点の個数をbnとするとき，次の各問に答えよ．
(1)anを，nを用いて表せ．
(2)bnを，nを用いて表せ．
(3)Snの面積をcnとするとき，極限値\lim_{n→∞}1/n(\frac{an}{2}+bn-cn)を求めよ．