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次の問に答えよ．
(1)x2+4y2=9z2をみたす自然数x,y,zがあればxとyはいずれも3の倍数であることを示し，x2+4y2=9z2をみたす自然数x,y,zの例を挙げよ．
(2)x3+4y3=9z3をみたす自然数x,y,zは存在しないことを示せ．
国立 お茶の水女子大学 2014年 第3問次の問いに答えよ．
(1)関数y=\frac{logx}{x}(x＞0)の増減を調べ，そのグラフの概形を描け．ただし，\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}=0は証明なく用いて良い．
(2)異なる自然数m,nの組で
mn=nm
を満たすものをすべて求めよ．
(3)曲線y=\frac{logx}{x}と直線y=\frac{log2}{2}で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2014年 第4問自然数l,m,nに対し，
f(l,m,n)=1/l+1/m+1/n
とする．
(1)l+m+n=10のとき，f(l,m,n)の値の最小値と最大値を求めよ．
(2)方程式f(l,m,n)=aの解となる自然数l,m,nの組でl≦m≦nを満たすものが2つ以上存在するようなaの例を挙げ，そのような自然数の組を2つ求めよ．
(3)11/12＜f(l,m,n)＜1を満たす自然数l,m,nの組でl≦m≦nを満たすものをすべて求めよ．
国立 京都工芸繊維大学 2014年 第3問関数f(x)=e^{-√3x}(1-cosx)を考える．自然数nに対し，区間2(n-1)π≦x≦2nπにおける関数f(x)の最大値をAnとする．
(1)A1を求めよ．
(2)自然数nに対し，Anをnを用いて表せ．
(3)無限級数Σ_{n=1}^∞Anの和を求めよ．
国立 鳥取大学 2014年 第4問自然数nに対して，1から2nまでのすべての自然数を次の条件（ア）および（イ）を満たすように並べた順列[i1,i2,i3,i4,・・・,i_{2n-1},i_{2n}]の総数をf(n)とする．
（ア）k=1,2,・・・,nに対してi_{2k-1}＜i_{2k}
（イ）n≧2ならばi1＜i3＜・・・＜i_{2n-1}
たとえばn=1のとき条件（ア）を満たす順列は[1,2]のみであるからf(1)=1となる．
(1)f(2),f(3)を求めよ．
(2)n=2,3,・・・とするとき，・・・
国立 東京農工大学 2014年 第2問a,bを実数とする．行列A=(\begin{array}{cc}
4&3\
a&b
\end{array})，B=(\begin{array}{cc}
a&b\
b&-a
\end{array})が
AB=(\begin{array}{cc}
10&5\
5&0
\end{array})
を満たしている．次の問いに答えよ．
(1)a,bの値を求めよ．ただし答えのみでよい．
(2)m,nは実数で，m≠0，n≠0とする．座標平面上の2点S1(m,0)，S2(0,n)をとり，行列Aが表す1次変換によってS1，S2が移る点を・・・ 国立 東京農工大学 2014年 第3問eは自然対数の底とする．Oを原点とする座標平面に3点
A(e^{-θ}+√3,e^{-θ}),B(cosθ,sinθ),C(√3,0)
がある．ただし，θ≧0とする．次の問いに答えよ．
(1)三角形ABCの面積をF(θ)とする．F(θ)を求めよ．
(2)F(θ)の導関数をF´(θ)とする．区間0＜θ＜2πにおいてF´(θ)=0となるθの値をすべて求めよ．
(3)nを自然数とする．区間2(n-1)π\le・・・
国立 愛媛大学 2014年 第3問Aは3桁の自然数で，その百の位の数x，十の位の数y，一の位の数zは，
100x+10y+z=x!+y!+z!
を満たしている．
(1)6!の値を求め，x,y,zはすべて5以下であることを示せ．
(2)xは3以下であることを示せ．
(3)y,zのうち少なくとも1つは5であることを示せ．
(4)Aを求めよ．
国立 愛媛大学 2014年 第4問a,bは，0＜b＜aを満たす実数とする．曲線y=ex上の点(0,1)における接線ℓ1の方程式をy=f(x)，点(a,ea)における接線ℓ2の方程式をy=g(x)とおく．また，ℓ1とℓ2の交点のx座標をp(a)とする．連立不等式
0≦x≦b,f(x)≦y≦ex
の表す領域の面積をS1，連立不等式
b≦x≦a,g(x)≦y≦ex
の表す領域の面積をS2とし，R=e^{-b}S2とおく．このとき，次の問いに答えよ．必要ならば，すべての自然数kに対して\lim_・・・
国立 愛媛大学 2014年 第3問a,bは，0＜b＜aを満たす実数とする．曲線y=ex上の点(0,1)における接線ℓ1の方程式をy=f(x)，点(a,ea)における接線ℓ2の方程式をy=g(x)とおく．また，ℓ1とℓ2の交点のx座標をp(a)とする．連立不等式
0≦x≦b,f(x)≦y≦ex
の表す領域の面積をS1，連立不等式
b≦x≦a,g(x)≦y≦ex
の表す領域の面積をS2とし，R=e^{-b}S2とおく．このとき，次の問いに答えよ．必要ならば，すべての自然数kに対して\lim_・・・
