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nを自然数とする．A，B，C，D，Eの5人が1個のボールをパスし続ける．最初にAがボールを持っていて，Aは自分以外の誰かに同じ確率でボールをパスし，ボールを受けた人は，また自分以外の誰かに同じ確率でボールをパスし，以後同様にパスを続ける．n回パスしたとき，Bがボールを持っている確率をpnとする．ここで，たとえば，A→C→D→A→Eの順にボールをパスすれば，4回パスしたと考える．次の問いに答えよ．
\begin・・・
国立 岡山大学 2015年 第1問nを2以上の自然数とし，1からnまでの自然数kに対して，番号kをつけたカードをそれぞれk枚用意する．これらすべてを箱に入れ，箱の中から2枚のカードを同時に引くとき，次の問いに答えよ．
(1)用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(2)引いたカード2枚の番号が両方ともkである確率をnとkの式で表せ．
(3)引いたカード2枚の番号が一致する確率をnの式で表せ．
(4)引いたカード2枚の番号が異なっている確率をpnとする．不等式pn≧0.9を満たす最小の自然数nの値を求めよ．
\・・・
国立 岡山大学 2015年 第1問nを2以上の自然数とし，1からnまでの自然数kに対して，番号kをつけたカードをそれぞれk枚用意する．これらすべてを箱に入れ，箱の中から2枚のカードを同時に引くとき，次の問いに答えよ．
(1)用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(2)引いたカード2枚の番号が両方ともkである確率をnとkの式で表せ．
(3)引いたカード2枚の番号が一致する確率をnの式で表せ．
(4)引いたカード2枚の番号が連続している確率（すなわち，2つの番号の差の絶対値が1である確率）をnの式で表せ．
\end{・・・
国立 岡山大学 2015年 第3問自然数n=1,2,3,・・・に対して，関数fn(x)=x^{n+1}(1-x)を考える．
(1)曲線y=fn(x)上の点(an,fn(an))における接線が原点を通るとき，anをnの式で表せ．ただし，an＞0とする．
(2)0≦x≦1の範囲で，曲線y=fn(x)とx軸とで囲まれた図形の面積をBnとする．また，(1)で求めたanに対して，0≦x≦anの範囲で，曲線y=fn(x)，x軸，および直線x=anで囲まれた図形の面積をCnとする．BnおよびCnをnの式で表せ．
(3)(2)で求めたBnおよび・・・
国立 九州大学 2015年 第5問以下の問いに答えよ．
(1)nが正の偶数のとき，2n-1は3の倍数であることを示せ．
(2)nを自然数とする．2n+1と2n-1は互いに素であることを示せ．
(3)p,qを異なる素数とする．2^{p-1}-1=pq2を満たすp,qの組をすべて求めよ．
国立 新潟大学 2015年 第4問数列{an}を次の条件(i)および(ii)をみたすように定める．
(i)a1=0，a2=3
(ii)3以上の自然数nに対して，第(n-1)項a_{n-1}の値が初項a1から第(n-2)項a_{n-2}までのどの項の値とも等しくないときはan=a_{n-1}-1であり，第(n-1)項a_{n-1}の値が初項a1から第(n-2)項a_{n-2}までのどれかの項の値と等しいときはan=a_{n-1}+6である．
次の問いに答えよ．
(1)数列{an}の第3項から第10項までの・・・ 国立 新潟大学 2015年 第4問数列{an}を次の条件(i)および(ii)をみたすように定める．
(i)a1=0，a2=3
(ii)3以上の自然数nに対して，第(n-1)項a_{n-1}の値が初項a1から第(n-2)項a_{n-2}までのどの項の値とも等しくないときはan=a_{n-1}-1であり，第(n-1)項a_{n-1}の値が初項a1から第(n-2)項a_{n-2}までのどれかの項の値と等しいときはan=a_{n-1}+6である．
次の問いに答えよ．
(1)数列{an}の第3項から第10項までの・・・ 国立 新潟大学 2015年 第5問自然数nに対して，関数fn(x)を次のように定める．
\begin{array}{ll}
f1(x)=1-\frac{x2}{2}\phantom{\frac{[]}{2}}&\
fn(x)=∫0xf_{n-1}(t)dt\phantom{\frac{[]}{2}}&(n が偶数のとき )\
fn(x)=1-∫0xf_{n-1}(t)dt\phantom{\frac{[]}{2}}&(n が 3 以上の奇数のとき )
\end{array}
次の問いに答えよ．ただし必要があれば，0＜x≦1のときx-\frac{x3}{3!}＜sinx＜xが成り立つことを用いてよい．
\mo・・・
国立 横浜国立大学 2015年 第4問自然数を2個以上の連続する自然数の和で表すことを考える．たとえば，42は3+4+・・・+9のように2個以上の連続する自然数の和で表せる．次の問いに答えよ．
(1)2020を2個以上の連続する自然数の和で表す表し方をすべて求めよ．
(2)aを0以上の整数とするとき，2aは2個以上の連続する自然数の和で表せないことを示せ．
(3)a,bを自然数とするとき，2a(2b+1)は2個以上の連続する自然数の和で表せることを示せ．
国立 東京工業大学 2015年 第5問nを相異なる素数p1,p2,・・・,pk(k≧1)の積とする．a,bをnの約数とするとき，a,bの最大公約数をG，最小公倍数をLとし，
f(a,b)=L/G
とする．
(1)f(a,b)がnの約数であることを示せ．
(2)f(a,b)=bならば，a=1であることを示せ．
(3)mを自然数とするとき，mの約数であるような素数の個数をS(m)とする．S(f(a,b))+S(a)+S(b)が偶数であることを示せ．
