タグ「自然数」の検索結果
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xy平面上の点Pのx座標およびy座標がともに整数であるとき，Pを格子点とよぶ．また，自然数nに対して，連立不等式
{\begin{array}{l}
0≦x≦n\
0≦y≦n
\end{array}.
の表す領域をRとする．R内の4つの格子点を頂点とする正方形の個数をqnとする．次の問いに答えよ．
(1)xy平面上の2点A(a,0)，B(0,b)(a＞0,b＞0)を結ぶ線分を1辺とする正方形ABCDを考える．点C，Dが第1象限に含まれ・・・
国立 埼玉大学 2015年 第4問nは2以上の自然数とし，
f(θ)=\frac{cos^{n-1}θsin^{n-1}θ}{cos^{2n}θ+sin^{2n}θ}
とする．次の問いに答えよ．
(1)t=tannθと変数変換することにより，∫0^{π/4}f(θ)dθを求めよ．
(2)0≦θ≦π/2の範囲でf(θ)の最大値および最小値を求めよ．
国立 埼玉大学 2015年 第2問xy平面上の点Pのx座標およびy座標がともに整数であるとき，Pを格子点とよぶ．また，自然数nに対して，連立不等式
{\begin{array}{l}
0≦x≦n\
0≦y≦n
\end{array}.
の表す領域をRとする．R内の4つの格子点を頂点とする正方形の個数をqnとする．次の問いに答えよ．
(1)xy平面上の2点A(a,0)，B(0,b)(a＞0,b＞0)を結ぶ線分を1辺とする正方形ABCDを考える．点C，Dが第1象限に含まれ・・・
国立 静岡大学 2015年 第1問次の条件によって定められる数列{an}，{bn}がある．
a1=1/2,3a_{n+1}=an-2a_{n+1}an(n=1,2,3,・・・)
b1=1,b_{n+1}=bn+\frac{n}{an}(n=1,2,3,・・・)
このとき，次の問いに答えよ．ただし，すべての自然数nについてan＞0である．
(1)cn=\frac{1}{an}とおくとき，c_{n+1}とcnの関係式を求めよ．
(2)数列{an}の一般項を求めよ．
(3)数・・・
国立 香川大学 2015年 第3問数列{an}は，
a1=2,a_{n+1}=\frac{2an+2}{an+2}(n=1,2,3,・・・)
で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)nが自然数のとき，数学的帰納法を用いて√2＜anを示せ．
(2)nが自然数のとき，a_{n+1}＜anを示せ．
(3)nが自然数のとき，数学的帰納法を用いて
an-√2≦\frac{(2-√2)n}{3^{n-1}}
を示せ．
国立 香川大学 2015年 第3問2次関数y=f(x)のグラフは，点(3/2a,-a)を頂点とし，点(a,0)を通る放物線である．ただし，a≠0とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)2次関数y=f(x)をaを用いて表せ．
(2)a＞0とするとき，放物線y=f(x)とx軸で囲まれた部分の面積S(a)を，積分を計算することによって求めよ．
(3)S(2n)＞7^{10}となる最小の自然数nを求めよ．必要であれば，log_{10}2=0.3010，log_{10}3=0.4771，log_{10}7=0.8451を用いてもよい．
国立 香川大学 2015年 第3問数列{an}は，
a1=2,a_{n+1}=\frac{2an+2}{an+2}(n=1,2,3,・・・)
で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)nが自然数のとき，数学的帰納法を用いて√2＜anを示せ．
(2)nが自然数のとき，a_{n+1}＜anを示せ．
(3)nが自然数のとき，数学的帰納法を用いて
an-√2≦\frac{(2-√2)n}{3^{n-1}}
を示せ．
国立 香川大学 2015年 第4問2次関数y=f(x)のグラフは，点(3/2a,-a)を頂点とし，点(a,0)を通る放物線である．ただし，a≠0とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)2次関数y=f(x)をaを用いて表せ．
(2)a＞0とするとき，放物線y=f(x)とx軸で囲まれた部分の面積S(a)を，積分を計算することによって求めよ．
(3)S(2n)＞7^{10}となる最小の自然数nを求めよ．必要であれば，log_{10}2=0.3010，log_{10}3=0.4771，log_{10}7=0.8451を用いてもよい．
国立 香川大学 2015年 第4問2次関数y=f(x)のグラフは，点(3/2a,-a)を頂点とし，点(a,0)を通る放物線である．ただし，a≠0とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)2次関数y=f(x)をaを用いて表せ．
(2)a＞0とするとき，放物線y=f(x)とx軸で囲まれた部分の面積S(a)を，積分を計算することによって求めよ．
(3)S(2n)＞7^{10}となる最小の自然数nを求めよ．必要であれば，log_{10}2=0.3010，log_{10}3=0.4771，log_{10}7=0.8451を用いてもよい．
国立 佐賀大学 2015年 第4問pを素数とするとき，次の問に答えよ．
(1)2つの自然数m,nの最大公約数は1であるとし，x=n/mとおく．pxが有理数であるならば，m=1であることを示せ．
(2)方程式
px=-x2+9x-5
が有理数の解xをもつような組(p,x)をすべて求めよ．