「自然数」について

　国立 九州工業大学 2015年 第3問

nを自然数とし，関数fm(x)(m=0,1,2,・・・,n)を次のように定める．
fm(x)={\begin{array}{ll}
1&(m=0)\
xm&(m≧1)
\end{array}.
さらに，ak(k=0,1,2,・・・,n)を次のように定める．
ak=∫_{-1}1fk(1-x)f_{n-k}(1+x)dx
以下の問いに答えよ．
(1)a0とa1をそれぞれnを用いて表せ．
(2)k≧1のとき，akをn,k,a_{k-1}を用いて表せ．
(3)akをn,kを用いて表せ．
(4)Σ_{k=0}n\fra・・・

　国立 大分大学 2015年 第2問

方程式x4+x2+1=0の解で，実部と虚部がともに正のものをx1，実部が負で虚部が正のものをx2，実部と虚部がともに負のものをx3，実部が正で虚部が負のものをx4とする．
(1)この方程式を解きなさい．
(2){x1}k(k=1,2,・・・,6)を計算しなさい．
(3)与方程式の解xiと自然数nに対して，{xi}^{4n}+{xi}^{2n}+1(i=1,2,3,4)を求めなさい．

　国立 九州工業大学 2015年 第3問

nを2以上の自然数とし，関数f(x)をf(x)=xnlogx(x＞0)とする．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．
(1)x＞0のとき，不等式logx+1/x＞0を証明せよ．
(2)\lim_{x→+0}xnlogx=0を示せ．
(3)関数f(x)の増減を調べ，その最小値を求めよ．また，曲線y=f(x)の概形をかけ．ただし，曲線の凹凸は調べなくてよい．
(4)f(x)が最小値をとるときのxの値をcnとし
In=∫_{cn}1f(x)dx
とする．\lim_{n→\inft・・・

　国立 千葉大学 2015年 第4問

k,m,nを自然数とする．以下の問いに答えよ．
(1)2kを7で割った余りが4であるとする．このとき，kを3で割った余りは2であることを示せ．
(2)4m+5nが3で割り切れるとする．このとき，2^{mn}を7で割った余りは4ではないことを示せ．

　国立 千葉大学 2015年 第5問

k,m,nを自然数とする．以下の問いに答えよ．
(1)2kを7で割った余りが4であるとする．このとき，kを3で割った余りは2であることを示せ．
(2)4m+5nが3で割り切れるとする．このとき，2^{mn}を7で割った余りは4ではないことを示せ．

　国立 千葉大学 2015年 第1問

k,m,nを自然数とする．以下の問いに答えよ．
(1)2kを7で割った余りが4であるとする．このとき，kを3で割った余りは2であることを示せ．
(2)4m+5nが3で割り切れるとする．このとき，2^{mn}を7で割った余りは4ではないことを示せ．

　国立 弘前大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)aを実数とする．∫0^πsin2axdxをaを用いて表せ．
(2)関数f(x)=\frac{logx}{x}の増減を調べ，2つの数{59}^{61},{61}^{59}の大小関係を決定せよ．
(3)\lim_{k→∞}k2∫1^{e^{1/k}}\frac{logx}{xk}dxを求めよ．ただし，kは自然数を動くものとする．

　国立 愛媛大学 2015年 第4問

nを自然数とし，曲線y=nsinx/nと円x2+y2=1の第1象限における交点の座標を(pn,qn)とする．
(1)x＞0のとき，不等式nsinx/n＜xが成り立つことを示せ．
(2)不等式pn＞\frac{1}{√2}が成り立つことを示せ．
(3)0≦x≦1のとき，不等式
(*)(nsin1/n)x≦nsinx/n
が成り立つことを利用して，次の(i)，(ii)に答えよ．
\mon[・・・

　国立 愛媛大学 2015年 第5問

nを自然数，iを虚数単位とする．集合I1,I2,I3,I4，およびAを
I1={k\;|\;k　は　n　以下の自然数　}
I2={-k\;|\;k　は　n　以下の自然数　}
I3={ki\;|\;k　は　n　以下の自然数　}
I4={-ki\;|\;k　は　n　以下の自然数　}
A=I1∪I2∪I3∪I4∪{0}
とする．集合Aの要素が1つずつ書かれたカードが4n+1枚ある．ただし，それぞれのカードに書かれている・・・

　国立 愛媛大学 2015年 第3問

nを自然数とし，曲線y=nsinx/nと円x2+y2=1の第1象限における交点の座標を(pn,qn)とする．
(1)x＞0のとき，不等式nsinx/n＜xが成り立つことを示せ．
(2)不等式pn＞\frac{1}{√2}が成り立つことを示せ．
(3)0≦x≦1のとき，不等式
(*)(nsin1/n)x≦nsinx/n
が成り立つことを利用して，次の(i)，(ii)に答えよ．
\mon[・・・