「自然数」について

　国立 富山大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)は区間[a,b]で連続であり，区間(a,b)で第2次導関数f^{\prime\prime}(x)をもつとする．さらに，区間(a,b)でf^{\prime\prime}(x)＜0が成り立つとする．y=g(x)を2点(a,f(a))，(b,f(b))を通る直線の方程式とするとき，区間(a,b)で常にf(x)＞g(x)であることを示せ．
(2)nを2以上の自然数とするとき，j=1,2,・・・,n-1について
\frac{logj+log(j+1)}{2}＜∫j^{j+1}logxdx
が成り立つことを示せ．
(3)nを2以上の自然数・・・

　国立 富山大学 2015年 第3問

「表が出る確率がp(0＜p＜1)，裏が出る確率が1-pのコインを投げ，数直線上の点Aを次の規則（ア），（イ）にしたがって動かす」という操作を繰り返し行う．ただし，点Aは最初は原点にあるものとする．
\mon[（ア）]点Aが-1,0,1,2のいずれかにあるときには，コインを投げて表が出れば点Aを+2だけ移動させ，裏が出れば点Aを-1だけ移動させる．
\mon[（イ）]点Aが-1,0,1,2以外にあるときには，コインを投げて表が出ても裏が出ても点Aを移・・・

　国立 群馬大学 2015年 第2問

数列{an}，{bn}，{cn}，{dn}は，初項がそれぞれa1=a，b1=b，c1=c，d1=dで与えられ，漸化式
a_{n+1}=2an+bn,b_{n+1}=an+2bn,c_{n+1}=2cn+dn,d_{n+1}=cn+2dn
を満たす．ただし，a,b,c,dはc/a＜d/bを満たす正の数とする．
(1)c/a＜\frac{c+d}{a+b}＜d/bが成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数nについて\frac{cn}{an}＜\frac{dn}{bn}が成り立つことを，・・・

　国立 群馬大学 2015年 第2問

数列{an}，{bn}，{cn}，{dn}は，初項がそれぞれa1=a，b1=b，c1=c，d1=dで与えられ，漸化式
a_{n+1}=2an+bn,b_{n+1}=an+2bn,c_{n+1}=2cn+dn,d_{n+1}=cn+2dn
を満たす．ただし，a,b,c,dはc/a＜d/bを満たす正の数とする．
(1)c/a＜\frac{c+d}{a+b}＜d/bが成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数nについて\frac{cn}{an}＜\frac{dn}{bn}が成り立つことを，・・・

　国立 群馬大学 2015年 第1問

数列{an}，{bn}，{cn}，{dn}は，初項がそれぞれa1=a，b1=b，c1=c，d1=dで与えられ，漸化式
a_{n+1}=2an+bn,b_{n+1}=an+2bn,c_{n+1}=2cn+dn,d_{n+1}=cn+2dn
を満たす．ただし，a,b,c,dはc/a＜d/bを満たす正の数とする．
(1)c/a＜\frac{c+d}{a+b}＜d/bが成り立つことを証明せよ．
(2)すべての自然数nについて\frac{cn}{an}＜\frac{dn}{bn}が成り立つことを，・・・

　国立 宮城教育大学 2015年 第1問

p,qを自然数として，p＞qとする．等差数列{an}の初項から第n項までの和をSnとするとき，Sp=p/q，Sq=q/pが成り立つとする．次の問に答えよ．
(1)数列{an}の初項と公差をp,qを用いて表せ．
(2)自然数mに対して，数列{an}の初項から第2m項までの和の逆数をbmとする．このとき，数列{bn}の初項から第n項までの和を求めよ．
(3)(2)の数列{bn}について無限級数Σ_{n=1}^∞bnの和が48であり・・・

　国立 群馬大学 2015年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)数列{an}の一般項がan=3/2・{(-1)}n+5/2で与えられるとき，無限級数Σ_{n=1}^∞\frac{an}{7n}の和を求めよ．
(2)すべての自然数nに対してbnは0≦bn≦6を満たす整数で，Σ_{n=1}^∞\frac{bn}{7n}=3/8が成り立つ．このときb1,b2,b3を求め，さらに数列{bn}の一般項を求めよ．

　国立 山梨大学 2015年 第5問

点Oを原点とする座標平面上において，点P(-6,0)をとる．また，曲線
x=3cosθ,y=3sinθ(0≦θ≦π)
をC1とする．曲線C2,C3,・・・,Cn,・・・を次のように順次定義する．
「点Qが曲線Cn上を動くとき，線分PQを1:2に内分する点Rのなす曲線をC_{n+1}とする．」
また，各自然数nに対して，点Pを通るx軸と異なる直線が曲線Cnと接するとき，その接点をAnとする．次に，・・・

　国立 茨城大学 2015年 第3問

nを自然数とする．3次方程式2x3-25x2+(5n+2)x-35=0について，次の各問に答えよ．
(1)方程式の1つの解が自然数であるとき，nの値を求めよ．
(2)(1)で求めたnに対して，方程式の解をすべて求めよ．

　国立 三重大学 2015年 第3問

関数f(x)={|x-2|}3-3x2+12xがある．以下の問いに答えよ．
(1)f(x)の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線y=f(x)と直線y=12の共有点のx座標を求めよ．
(3)曲線y=f(x)と直線y=12で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明]必要ならば，自然数nに対して
∫xndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(C　は積分定数　)
となることを用いてよい．