「自然数」について

　国立 三重大学 2015年 第3問

関数f(x)={|x-2|}3-3x2+12xがある．以下の問いに答えよ．
(1)f(x)の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線y=f(x)と直線y=12の共有点のx座標を求めよ．
(3)曲線y=f(x)と直線y=12で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明]必要ならば，自然数nに対して
∫xndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(C　は積分定数　)
となることを用いてよい．

　国立 帯広畜産大学 2015年 第1問

数列{an}は初項a，公比rの等比数列であり，その一般項をanで表す．また，数列{bn}は一般項がbn=log2anで定義され，その初項から第n項までの和をSnで表す．ただし，nは自然数である．次の各問に答えなさい．
(1)a2=16，b3=2とする．
(i)r,aの値を求めなさい．
(ii)b5,S5の値を求めなさい．
(iii)不等式Sn≧10を満たすnの値をすべて求めなさい．
(2)a=2^{32},\fr・・・

　国立 信州大学 2015年 第2問

次の3つの条件を満たす自然数の組(x,y,z)を考える．
(i)xは奇数である．
(ii)x2+y2=z2
(iii)x,y,zの最大公約数は1である．
例えば(x,y,z)=(3,4,5),(5,12,13)などがその例である．
(1)yは偶数であることを示せ．
(2)x=a2-b2,y=2abとなる自然数a,bが存在することを示せ．
(3)条件を満たす(x,y,z)で，(3,4,5)と(5,12,13)以外のものを2組求めよ．
\end{enu・・・

　国立 信州大学 2015年 第1問

次の3つの条件を満たす自然数の組(x,y,z)を考える．
(i)xは奇数である．
(ii)x2+y2=z2
(iii)x,y,zの最大公約数は1である．
例えば(x,y,z)=(3,4,5),(5,12,13)などがその例である．
(1)yは偶数であることを示せ．
(2)x=a2-b2,y=2abとなる自然数a,bが存在することを示せ．
(3)条件を満たす(x,y,z)で，(3,4,5)と(5,12,13)以外のものを2組求めよ．
\end{enu・・・

　国立 信州大学 2015年 第4問

nを自然数とする．
(1)n以下の非負の整数kについて，関数x(1+x)nの導関数のxkの係数を求めよ．
(2)Σ_{k=0}n(k+1)2\comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}を示せ．

　国立 信州大学 2015年 第3問

nを自然数とする．
(1)n以下の非負の整数kについて，関数x(1+x)nの導関数のxkの係数を求めよ．
(2)Σ_{k=0}n(k+1)2\comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}を示せ．

　国立 愛知教育大学 2015年 第5問

nを自然数とするとき，等式
1・(2n-1)+2・(2n-3)+3・(2n-5)+・・・+(n-1)・3+n・1=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
が成り立つことを，数学的帰納法により証明せよ．

　国立 愛知教育大学 2015年 第8問

数列{an}を
an=\frac{(-1)n}{n(n+2)}(n=1,2,3,・・・)
で定める．次の問いに答えよ．
(1)数列{bn}をbn=a_{2n}で定めるとき，Σ_{k=1}nbkを求めよ．
(2)数列{an}の初項から第2n項までの和S_{2n}を求めよ．
(3)\lim_{n→∞}S_{2n}を求めよ．
(4)S=\lim_{n→∞}S_{2n}とおくとき，|S_{2n|-S}＜0.001を満たす最小の自然数nを求めよ．

　私立 慶應義塾大学 2015年 第1問

次の[]にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しなさい．
(1)2次方程式x2+kx+k+8=0が異なる2つの実数解α，βをもつとする．このとき，定数kの値の範囲はk＜[ア]またはk＞[イ]である．さらに，このときα2+β2=19となるような定数kの値はk=[ウ]である．
(2)xyz空間のA(1,0,0)，B(-1,0,0)，C(0,√3,0)を3頂点とする三角形を底面にもち，z≧0の部分にある正四面体ABCDを考える・・・

　私立 慶應義塾大学 2015年 第3問

次の[]にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．
Aを与えられた自然数として，
a1=3A,a_{n+1}={\begin{array}{ll}
an-2&(n　が奇数のとき　)\
an-1&(n　が偶数のとき　)
\end{array}.
によって定まる数列{an}を考える．
(1)a5,a6をAを用いて表すと，a5=[チ]，a6=[ツ]である．また一般に，anをnとAを用いて表すと，
an={\begin{array}{ll}
[テ]&(n\text{が奇数・・・