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数列2・12,-2・22,2・32,-2・42,2・52,・・・において，この数列の第n項をan，初項から第n項までの和をSnとするとき，以下の問に答えよ．ただし，nは自然数とする．
(1)anを求めよ．
(2)n=2kのとき，Snを求めよ．ただし，kは自然数とする．
(3)n=2k-1のとき，Snを求めよ．ただし，kは自然数とする．
公立 大阪府立大学 2010年 第4問数列{an}の初項から第n項までの和をSnで表わす．
(1)すべての自然数nに対して，Sn=2an-1を満たす数列{an}の一般項anを求めよ．
(2)すべての自然数nに対して，Sn=an+n2-1を満たす数列{an}の一般項anを求めよ．
(3)a1=1,a2=1とし，すべての自然数nに対して，a_{n+2}=a_{n+1}+anを満たす数列を{an}とする．このとき，すべての自然数nに対して，Sn=a_{n+2}-1およびSn＜3anが成り立つことを示せ．
公立 京都府立大学 2010年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)√5が無理数であることを証明せよ．
(2)αを2次方程式x2-4x-1=0の解とするとき，(α-a)(α-b)=1+cを満たす自然数の組(a,b,c)をすべて求めよ．
(3)座標平面上の点(s,t)でsとtのどちらも整数となるものを格子点と呼ぶ．連立不等式
{
\begin{array}{l}
y≧3x2-12x-3\\
y≦0
\end{array}
.
の表す領域をDとする．k2-4k-1＜0を満たす整数kに対して，直線ℓ:x=k上にあり，かつ，Dに含まれる格子点の個数をNk・・・
公立 名古屋市立大学 2010年 第1問ある自然数k≧3に対して行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array})（ただしb≠0）が，Ak=O(零行列)を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)行列Aは逆行列を持たないことを示せ．
(2)A2=Oであることを示せ．
(3)0でない実数をp，単位行列をEとおく．A-pEが逆行列を持つことを示し，逆行列をa,b,pで表せ．
公立 京都府立大学 2010年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)√5が無理数であることを証明せよ．
(2)αを2次方程式x2-4x-1=0の解とするとき，(α-a)(α-b)=1+cを満たす自然数の組(a,b,c)をすべて求めよ．
(3)座標平面上の点(s,t)でsとtのどちらも整数となるものを格子点と呼ぶ．連立不等式
{
\begin{array}{l}
y≧3x2-12x-3\\
y≦0
\end{array}
.
の表す領域をDとする．k2-4k-1＜0を満たす整数kに対して，直線ℓ:x=k上にあり，かつ，Dに含まれる格子点の個数をNk・・・
公立 京都府立大学 2010年 第4問Aを成分が実数である2次の正方行列，Eを2次の単位行列とする．数列{an}を漸化式
a1=1,a_{n+1}=an+2n,(n=1,2,・・・)
によって定める．bn=Σ_{k=1}nakとおく．また，座標平面上の点Pn(xn,yn)を
\biggl(\begin{array}{c}
x1\\
y1
\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\biggr),\biggl(\begin{array}{c}
x_{n+1}\\
y_{n+1}
\end{array}\biggr)=A^{bn}\biggl(\begin{array}{c}
x1\\
y1
\end{array}\biggr),(n=1,2・・・
公立 高知工科大学 2010年 第4問rとθを-1＜r＜1,0≦θ＜2πを満たす定数とする．行列A=r(\begin{array}{rr}
cosθ&-sinθ\\
sinθ&cosθ
\end{array})，E=(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array})に対して，次の各問に答えよ．
(1)行列E-Aは逆行列を持つことを証明し，(E-A)^{-1}を求めよ．
(2)全ての自然数nについて
An=rn(\begin{array}{rr}
cosnθ&-sinnθ\\
sinnθ&cosnθ
\end{array})・・・
公立 兵庫県立大学 2010年 第4問数列{an},{bn}が
\begin{align}
&an=-1+log(1-\frac{1}{1+ne})\nonumber\\
&bn=log(n2-3n+3)-log(1+ne)\nonumber
\end{align}
で定められている．ここでlogは自然対数，eはその底である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)an≧bnを満たす自然数nをすべて求めよ．
(2)極限値\lim_{n→∞}(bn-logn)を求めよ．
公立 兵庫県立大学 2010年 第5問自然数nに対して，関数fn(x)を次のように定義する．
fn(x)=(sinx+sin2x+・・・+sinnx)sinx/2
次の問いに答えよ．
(1)方程式f2(x)=0の実数解xで，0＜x＜πを満たすものを求めよ．
(2)定積分∫0^πf_{50}(x)dxを求めよ．
公立 会津大学 2010年 第2問2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&3b\
0&b
\end{array})，B=(\begin{array}{cc}
a&b\
0&b
\end{array})に対して以下の問いに答えよ．ただし，nを自然数とし，a≠0,b≠0とする．
(1)AB^{-1}を求めよ．
(2)(AB^{-1})nを求めよ．
(3)P(AB^{-1})n=(\begin{array}{cc}
8&3\
1&2
\end{array})が成り立つとき，行列Pを求めよ．
