「自然数」について

　私立 立教大学 2015年 第2問

4で割って3余る自然数を図のように並べ，上から1段目，2段目，3段目，・・・とする．このとき，次の問に答えよ．
1段目\qquad\qquad\!7
2段目\qquad1115
3段目\qquad19\;23\;27
4段目31353943
：\qquad・・・・・・・・・・・・・・・・・・

(1)6段目の左から4個目にある自・・・

　私立 上智大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)関数f(x),g(x)が次の2つの式を満たしている．ただし，aは定数とする．
{\begin{array}{l}
∫1xf(t)dt=xg(x)-2ax+2\phantom{\frac{[]}{[]}}\
g(x)=x2-x∫01f(t)dt-3\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}.
このとき，a=[ア]であり，
f(x)=[イ]x2+[ウ]x+[エ]
である．
(2)c(n)=\frac{3n2+174n+231}{n2+3n+2}とおく．c(n)が整数となるような自然数nは[オ]個・・・

　私立 慶應義塾大学 2015年 第4問

企業Xがn個の新製品を同時に開発しており，各新製品の開発に成功する確率は1/9である．すべての開発の結果が出た後に企業Xが存続できるための必要十分条件は，n個のうち1個以上の新製品の開発に成功していることである．ただし，各新製品の開発は独立な試行であるとする．企業Xがn個の新製品すべての開発に失敗する確率をpn，また企業Xが存続できる確率をqnとする．以下では，log_{10}2=0.3010，log_{10}3=0.4771として計算せよ．
(1)pn,・・・

　私立 上智大学 2015年 第2問

Nを2以上の整数とする．整数a,bに対し，演算\oplusを
a\oplusb=\biggl((a+b)　を　N　で割ったときの余り　\biggr)
と定める．例えば，N=2のとき，
0\oplus0=0,0\oplus1=1,1\oplus1=0,1\oplus3=0
である．
(1)次の条件によって定められる数列{an}を考える．
a1=1,a_{n+1}=an\oplus(n+1)(n=1,2,3,・・・)
(i)N=4のとき，a3=[ヌ]である．
(ii)N・・・

　私立 東京理科大学 2015年 第1問

m,nを自然数とし，m≧nとする．n個の自然数の列で和がmとなるようなものの場合の数をf(m,n)とする．例えば，m=4，n=2のときを考えてみると，和が4となる2つの自然数は1,3と2,2のみだから，和が4となる自然数の列は1,3と3,1と2,2の3通りである．したがって，f(4,2)=3である．このとき，以下の各値を求めよ．
(1)f(7,3)=[ア][イ]
(2)f(19,4)=[ウ][エ][オ]
(3)Σ_{k=1}^{11}f(12,k)=\kakkofour{カ}{キ}{ク}{ケ}・・・

　私立 東京理科大学 2015年 第3問

以下の問いに答えよ．（nは自然数とする．）
(1)x=atanθとおくことにより，定積分
∫0a\frac{dx}{a2+x2}(a＞0)
を求めよ．
(2)極限値
\lim_{n→∞}Σ_{k=0}^{2n}\frac{n}{4n2+k2}
を求めよ．
(3)以下の問いに答えよ．
(i)実数x≧0に対して
\frac{1}{1+x2}-x^{2n+2}≦1+Σ_{k=1}n(-x2)k≦\frac{1}{1+x2}+x^{2n+2}
を示せ．
(ii)数列{an}を
an=Σ_{k=0}n\frac{(-1)k}{2・・・

　私立 東京理科大学 2015年 第2問

各辺の長さが整数であるような三角形を考え，その3辺の長さをx,y,z(x≦y≦z)とする．また，nを自然数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)z=nであるような三角形の個数をanとするとき，a5およびa6を求めよ．
(2)(1)のanをnの式で表せ．
(3)z≦nであるような三角形の個数をbnとする．
(i)bnをnの式で表せ．
(ii)bn＞2015となるような最小の自然数nを求めよ．
(4)z=nであるよう・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)整式P(x)を(x-1)(x-4)で割ると余りは43x-35であり，(x-2)(x-3)で割ると余りは39x-55であるという．このとき，P(x)を
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
で割ったときの余りを求めよ．
(2)座標平面に4点A(1,1)，B(1,-1)，C(-1,1)，D(-1,-1)がある．実数xが0≦x≦1の範囲にあるとき，2点P(x,0)，Q(-x,0)を考える．このとき，5本の線分の長さの和
AP+BP+PQ+CQ+DQ
が最小・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第2問

3種類の記号a,b,cから重複を許してn個を選び，それらを一列に並べて得られる長さnの記号列を考える．このような記号列のなかで，aがちょうど偶数個含まれるようなものの総数をg(n)とする．ただし，0個の場合も偶数個とみなす．たとえば，g(1)=2，g(2)=5である．
(1)自然数n≧1に対してg(n+1)=g(n)+3nが成り立つことを示せ．
(2)g(n)を求めよ．
(3)一般に，aを含むm種類の記号から重複を許してn個を選び，それらを一列に並べて得られる長さnの記号列を考える．ただし，m\ge・・・

　私立 東北学院大学 2015年 第1問

次の各問題の[]に適する答えを記入せよ．
(1)log9(x2+1)-log3x=1のときx=[ア]である．
(2)√3sinθ-cosθ=2sin(θ-α)のときα=[イ]である．ただし0＜α＜πとする．
(3)3の倍数で1000以下の自然数すべての和は[ウ]である．