「自然数」について

　公立 会津大学 2010年 第6問

以下の問いに答えよ．
(1)nを自然数とするとき，次の不等式を証明せよ．
-1/n+\frac{1}{(n+1)2}＜-\frac{1}{n+1}
(2)(1)の結果を利用して，すべての自然数nに対して次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．
1+\frac{1}{22}+\frac{1}{32}+・・・+\frac{1}{(n+1)2}＜2-\frac{1}{n+1}

　公立 九州歯科大学 2010年 第3問

In=∫0csinnxcos5xdx，Jn=∫0csinnxcosxdx，Kn=Jn-J_{n+2}とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，nは自然数であり，cは正の定数である．
(1)InをKnとK_{n+2}を用いて表せ．
(2)An=Σ_{m=1}nImをK1,K2,K_{n+1},K_{n+2}を用いて表せ．
(3)c=π/2のとき，Kn=\frac{2}{(n+a1)(n+a2)}となる定数a1とa2を求めよ．ただし，a1＜a2とする．
(4)\d・・・

　公立 高知工科大学 2010年 第3問

座標平面において，曲線y=exをCとし，点(1,0)をP1，点P1を通りx軸に垂直な直線とCとの交点をQ1とする．
点Q1におけるCの接線とx軸との交点をP2，点P2を通りx軸に垂直な直線とCとの交点をQ2とする．さらに，点Q2におけるCの接線とx軸との交点をP3，点P3を通りx軸に垂直な直線とCとの交点をQ3とする．
以下同様の操作を繰り返し，x軸上の点列P1,P2,\ten・・・

　公立 高知工科大学 2010年 第4問

1,2,3の3種類の数字を使ってできる正の整数を小さい方から順に並べた列を(S)とする：
(S):\qquad1,2,3,11,12,13,21,22,23,31,・・・
さらに，この列の区切りをなくして，すべての数字を一列に並べたものを(T)とする：
(T):\qquad12311121321222331・・・
次の各問に答えよ．
(1)(S)において，12は5番目の整数である．312は何番目の整数になるか求めよ．
(2)(S)において，2010番目の整数を求めよ．
(3)(T)において，初めて2が3個連続して並ぶ部分の最・・・

　公立 和歌山県立医科大学 2010年 第2問

A，B，Cのいずれかの状態をとる粒子があり，その状態は次のように変化していく．
\mon[(イ)]状態Aであるとき，1秒後に状態A，状態Bである確率はともに1/2である．
\mon[(ロ)]状態Bであるとき，1秒後に状態Bである確率は1/3であり，状態Cである確率は2/3である．
\mon[(ハ)]状態Cとなったときは，その後は変化なくCの状態が続く．
\end{enumerate・・・

　公立 和歌山県立医科大学 2010年 第3問

2次の多項式f(x)の係数はいずれも負でない整数であり，f(1)=15，f(2)=33であるとする．さらに，自然数nに対してf(1)+・・・+f(n)はつねにnで割り切れるものとする．このようなf(x)をすべて求めよ．

　公立 富山県立大学 2010年 第3問

1個のさいころをn回続けて投げるとき，1の目が奇数回出る確率pnについて，次の問いに答えよ．ただし，nは自然数である．
(1)p1,p2,p3を求めよ．
(2)p_{n+1}をpnを用いて表せ．
(3)\lim_{n→∞}pn=1/2を示せ．

　公立 横浜市立大学 2010年 第3問

nは自然数とする．1以上の実数a,dと正の実数b,cを成分とする行列
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})
に対し，n個の積Anを
An=(\begin{array}{cc}
an&bn\
cn&dn
\end{array}),A1=A
とおく．また，0＜v≦uをみたす実数u,vと正の実数\lambdaに対して，Aは等式
A(\begin{array}{c}
u\
v
\end{array})=\lambda(\begin{array}{c}
u\
v
\end{array})
をみたすとする．以下の問いに答えよ・・・