「虚数」について

　私立 成城大学 2014年 第1問

3次方程式x3+ax2+bx+c=0の1つの解が1+5iであるとき，以下の問いに答えよ．ただし，a,b,cは実数の定数，iは虚数単位とする．
(1)b,cをaを用いて表せ．
(2)a=2のとき，この方程式の他の2つの解を求めよ．

　私立 立教大学 2014年 第1問

次の空欄[ア]～[コ]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1){1.6}n＞10000を満たす最小の整数nの値は[ア]である．ただし，log_{10}2=0.3010とする．
(2)関数f(x)が等式∫axf(t)dt=x2-6x-2a+16を満たすとき，定数aの値は[イ]である．
(3)4つのさいころを同時に投げたとき，すべてのさいころの目の数が異なる確率は[ウ]である．
(4){(√3)}x=243×3^{-2x}を満たすとき，xの値は[エ]である．
(5)2つの直線・・・

　私立 立教大学 2014年 第1問

次の空欄[ア]～[コ]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)1でない実数aに対し，f(x)=x3+ax2+x+1，g(x)=x3+x2+x+aとする．方程式f(x)=0とg(x)=0がただ1つの共通解をもつならば，a=[ア]であり，f(x)=0のすべての解は[イ]である．
(2)x＞0のとき，f(x)=e^{-√3x}sinxの最大値は[ウ]であり，最小値は[エ]である．
(3)z=1/2+\frac{√3}{2}iとするとき，z^{2014}=[オ]+[カ]iである．ただし，・・・

　私立 立教大学 2014年 第1問

次の空欄[ア]～[サ]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)(log3x)(log39x)-6log9x-6=0を満たすxの値をすべて求めると，[ア]である．
(2)座標平面上に点A(1,1)，B(3,7)，C(-1,5)がある．このとき，点Cを通り直線ABと直交する直線の方程式はy=[イ]である．
(3)実数xが方程式(1+i)x2-(5+i)x+6-2i=0を満たすとき，x=[ウ]である．ただし，iは虚数単位とする．
(4)0＜θ＜π/2・・・

　公立 大阪市立大学 2014年 第1問

a,bを実数とする．2次方程式x2+2ax+b=0の2つの解をα,βとする．重解の場合はα=βと考える．次の問いに答えよ．
(1)α,βが実数で，|α|≦1，|β|≦1をみたすとき，点(a,b)の存在範囲を図示せよ．
(2)αは虚数とし，α=p+qiとおく．ただし，p,qは実数であり，iは虚数単位である．p,qがp2+q2≦1をみたすとき，点(a,b)の存在範囲を図示せよ．

　公立 首都大学東京 2014年 第1問

s,t,uを実数，iを虚数単位とし，\omega=\frac{-1+√3i}{2}とする．方程式
f(x)=x4+sx3-tx2+ux+1=0
が\omegaを解にもつとき，以下の問いに答えなさい．
(1)-t=s+1,u=sであることを示しなさい．
(2)f(\omega2)=0であることを示しなさい．
(3)方程式f(x)=0が\omega，\omega2と異なる解αを2重解にもつようなsとαの組(s,α)をすべて求めなさい．

　公立 宮城大学 2014年 第1問

次の空欄[ア]から[キ]にあてはまる数や式を書きなさい．
(1)次の式を因数分解すれば，
2x2+3xy+y2+x-y-6=([ア])([イ])
となる．
(2)MIYAGIDAIのすべての文字を並べてできる順列のうち，5個の母音が隣り合わない場合は[ウ]通りある．
(3)iを虚数単位とするとき，
(1+i)2=[エ]iであり，(1+i)^{10}=[オ]iである．すると，
(1+i)^{2014}+(1-i)^{2014}=[カ]となる．
(4)Σ_{k=1}^{99}\frac{1}{\sqrt{k・・・

　公立 北九州市立大学 2014年 第2問

以下の問いの空欄[タ]～[ノ]に適する数値，式を記せ．
(1)iを虚数単位として，等式(2+i)(x-3yi)=1-iを満たす実数xおよびyの値を求めるとx=[タ]，y=[チ]となる．
(2)平面上に2点A(-1,1)，B(3,-1)と直線x-2y-2=0がある．この直線上に点Pをとるとき，AP+BPを最小にする点Pの座標は([ツ],[テ])となる．
(3)0≦θ＜2πの条件で，関数y=cos2θ-4sinθの最大値と最小値を求めると・・・

　国立 北海道大学 2013年 第3問

実数x,y,s,tに対し，z=x+yi,w=s+tiとおいたとき，
z=\frac{w-1}{w+1}
をみたすとする．ただし，iは虚数単位である．
(1)wをzで表し，s,tをx,yで表せ．
(2)0≦s≦1かつ0≦t≦1となるような(x,y)の範囲Dを座標平面上に図示せよ．
(3)点P(x,y)がDを動いたとき，-5x+yの最小値を求めよ．

　国立 富山大学 2013年 第1問

6つの面にそれぞれ0,0,1,-1,i,-iと書かれたさいころがある．ここでiは虚数単位である．このさいころを3回投げ，1回目に出た目の値をX1，2回目に出た目の値をX2，3回目に出た目の値をX3とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)積X1X2が実数となる確率を求めよ．
(2)和X1+X2が実数となる確率を求めよ．
(3)積X1X2X3が実数となる確率を求めよ．