「虚数」について

　国立 富山大学 2013年 第2問

6つの面にそれぞれ0,0,1,-1,i,-iと書かれたさいころがある．ここでiは虚数単位である．このさいころを3回投げ，1回目に出た目の値をX1，2回目に出た目の値をX2，3回目に出た目の値をX3とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)積X1X2が実数となる確率を求めよ．
(2)和X1+X2が実数となる確率を求めよ．
(3)積X1X2X3が0となる確率を求めよ．

　国立 愛知教育大学 2013年 第7問

2つの実数a,bは|2a|-2＜b＜2をみたしている．このとき，xの4次方程式
x4+ax3+bx2+ax+1=0・・・・・・(*)
を考える．
(1)x≠0とする．z=x+1/xとおくとき，方程式(*)をzで表せ．
(2)(1)で求めたzの方程式の解は，すべて絶対値が2以下の実数であることを示せ．
(3)複素数α=p+qi（p,qは実数）に対し，\sqrt{p2+q2}を複素数αの「大きさ」ということにする．ただしiは虚数単位を表す．このとき，4次方程式(*)の・・・

　国立 山梨大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)\lim_{x→0}\frac{xsinx}{1-cosx}を求めよ．
(2)等式(x+yi)2=\frac{1+√3i}{2}を満たす実数x,yを求めよ．ただし，iは虚数単位を表す．
(3)すべての実数xに対し，x3+2x2+3x+4=a(x-10)3+b(x-10)2+c(x-10)+dとなるような定数a,b,c,dを求めよ．

　国立 電気通信大学 2013年 第3問

以下の問いに答えよ．
(1)自然数nに対して，
(cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ)
が成り立つことをnに関する数学的帰納法により証明せよ．ただし，iは虚数単位とする．
(2)cos(nθ)=0をみたすようなθをすべて求めよ．
(3)t=cosθとする．(1)の等式を使って，cos5θ=f(t)をみたす多項式f(t)を求めよ．
(4)f(t)=0のすべての解をcosα(0≦α≦π)の形で表せ．また，それらを大きい順に並べよ．
(5)\displ・・・

　国立 三重大学 2013年 第1問

a,bを実数とし，iを虚数単位とする．2次方程式x2+ax+b=0の解の1つが1-√2iであるとき，以下の問いに答えよ．
(1)a,bの値を求めよ．
(2)2次関数y=x2+ax+bのグラフの軸と頂点を求め，そのグラフをかけ．
(3)曲線y=x2+ax+bと直線y=3とで囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 愛媛大学 2013年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)iを虚数単位とする．等式(1+i)^{14}=a+biを満たす実数a,bの値を求めよ．
(2)xの多項式x4-px+qが(x-1)2で割り切れるとき，定数p,qの値を求めよ．
(3)θが方程式cos2θ-2sinθ=47/50を満たすとき，sinθの値を求めよ．
(4)次の極限値を求めよ．
\lim_{x→0}\frac{(\sqrt{x2+x+4}-\sqrt{x2+4})sin2x}{x2}
(5)空間内に5点A，B，C，D，Eがあり，次の等式を満・・・

　国立 鳥取大学 2013年 第4問

実数tの関数α(t),β(t)をα(t)=\frac{et+e^{-t}}{2}，β(t)=\frac{et-e^{-t}}{2}で定める．実数の定数pに対して点P(x,y)のx座標およびy座標を，複素数
z=\frac{ipα(t)+β(t)}{ipβ(t)+α(t)}
の実部および虚部でそれぞれ与える．ただしiは虚数単位とする．
(1){α(t)}2-{β(t)}2=1となることを示し，x,yをtの関数として表せ．
(2)点Pのx座標のt→∞およびt→-∞のと・・・

　私立 神奈川大学 2013年 第1問

次の空欄[]を適当に補え．
(1)三角形ABCにおいて，AC=7，AB=3，∠BAC=120°のとき，BC=[ア]である．
(2)方程式3log8x+log2(x-8)=7を解くと，x=[イ]である．
(3)3+iをかけると1+17iとなる複素数を，a+biの形で表すと[ウ]である．ただし，a,bは実数，iは虚数単位である．
(4)1つのサイコロを6回投げて，1の目と2の目がそれぞれちょうど2回ずつ出る確率は[エ]である．

　私立 愛知工業大学 2013年 第1問

次の[]を適当に補え．
(1)\frac{√5-√2}{√5+√2}+\frac{√5+√2}{√5-√2}=[]，(\frac{√5-√2}{√5+√2})2+(\frac{√5+√2}{√5-√2})2=[]である．
(2)10本のくじの中に2本の当たりくじがある．このくじをA君が2本引き，次にBさんが2本引く．ただし，引いたくじはもとに戻さないとする．このとき，A・・・

　私立 東京都市大学 2013年 第1問

次の問に答えよ．
(1)cosθ+sinθ=1/2のとき，cos3θsin2θ+cos2θsin3θを求めよ．
(2)等式(a+i)(a+1-i)=4+biを満たす実数a,bを求めよ．ただし，iは虚数単位である．
(3)xy平面上の2点(1,2)，(3,1)を通る直線をℓとする．直線ℓ上を動く点Pが原点Oに最も近づくとき，線分OPの長さを求めよ．