「虚数」について

　私立 久留米大学 2013年 第2問

\omega=1+iとする．2次方程式x2+ax+b=0が\frac{\overline{\omega}}{\omega}を解としてもつとき，a=[4]，b=[5]である．また，3次方程式x3+cx2+dx+e=0が解として1と\omega3をもつとき，c=[6]，d=[7]，e=[8]である．ここで，iは虚数単位，\overline{\omega}は\omegaと共役な複素数である．

　私立 桜美林大学 2013年 第3問

関数f(x)=x3+ax2+bx+1について，以下の問に答えなさい．ただしa,bは実数の定数とする．
(1)3f(x)-xf´(x)=2x+3がすべてのxの値について成り立つとき，a=[ホ]，b=[マ]である．
(2)f(x)が2x2-x-1で割り切れるとき，a=\frac{[ミ]}{[ム]}，b=\frac{[メ]}{[モ]}である．
(3)f(x)=0の1つの解がx=1+2iであるときa=\frac{[ヤ]}{[ユ]}，b=\frac{\k・・・

　公立 岡山県立大学 2013年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)Σ_{k=1}^{2013}\frac{1}{Σ_{j=1}kj}を求めよ．
(2)実数a,bを係数とする2次方程式x2+ax+b=0が異なる2つの虚数解をもつ．1つの虚数解をαとすると，他の解は2α-4+3iと表すことができる．このとき，a,bの値を求めよ．ただし，iは虚数単位である．
(3)座標平面上を運動する点Pの時刻tにおける座標(x,y)が
x=cos2t,y=sint
で表されるとき，点Pの速さは
v=\sqrt{(dx/dt)2+・・・

　公立 北九州市立大学 2013年 第2問

以下の問いの空欄[サ]～[ト]に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．
(1)iを虚数単位とする．x=1+iおよびy=1-iのとき，x2+5xy+4y2の値は実部が[サ]，虚部が[シ]となる．
(2)2点(-1,0)，(3,2)を通る半径が\sqrt{10}の円は，中心の座標が([ス],[セ])のものと([ソ],[タ])のものがある．
(3)αとβが鋭角で，sinα=1/3，sinβ=\fra・・・

　国立 茨城大学 2012年 第2問

以下の各問に答えよ．
(1)2x2y+5xy2-6x2+2y3-6y2-15xyを因数分解せよ．
(2)p,qを実数の定数とする．3次方程式x3+px2+qx+6=0の1つの解がx=\frac{2}{1-i}であるとき，p,qの値と他の解を求めよ．ただし，iは虚数単位である．
(3)実数a,bに関する命題「a+b＜0ならば，a＜0またはb＜0」を命題Pとする．
(i)命題Pの真偽を答えよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(ii)命題Pの逆を命題\t・・・

　国立 福井大学 2012年 第4問

行列A=(\begin{array}{cc}
2&-3\
3&2
\end{array})で表される1次変換をfとする．fによって，点P0(1,0)が移る点をP1(x1,y1)，正の整数nに対して点Pn(xn,yn)が移る点をP_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})とする．原点をOとして，以下の問いに答えよ．
(1)cos∠PnOP_{n+1}の値を求めよ．
(2)2以上の整数nで，直線OPnが線分P0P1と交わる最小のnを求めよ．
(3)iを虚数単位とする．0で・・・

　国立 愛媛大学 2012年 第1問

図のような1辺の長さを1とする立方体ABCD-EFGHを考える．\\
線分AHと線分EDの交点をKとする．さらに，辺CGを3:1\\
に内分する点をLとし，辺EFをp:1-pに内分する点をMと\\
する．ただし，0＜p＜1である．また，ベクトルa=ベクトルEF，ベクトルb=ベクトルEH，\\
ベクトルc=ベクトルEAとおく．
\img{669287220121}{38}
(1)ベクトルKLおよびベクトルKMをそれぞれベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(2)・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第1問

次の文章中の[ア]から[ラ]までに当てはまる数字0～9を求めて記入せよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．
(1)数列{an},{bn}(n=1,2,3,・・・)は次の関係式を満たすとする．
a1=0,{\begin{array}{l}
bn=1/5an+1\
a_{n+1}=3bn+2
\end{array}.(n=1,2,3,・・・)
このとき，b1=[ア]で，n\geq1に対してb_{n+1}=\frac{[イ]}{[ウ]}bn+\frac{[エ]}{\・・・

　私立 立教大学 2012年 第1問

次の空欄[ア]から[コ]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)方程式(x+3)|x-4|+2x+6=0の解はx=[ア]である．
(2)曲線y=x3-3x2+1上の点(1,-1)における接線が，放物線y=ax2+aと接するとき，a=[イ]である．ただし，a＞0とする．
(3)\frac{1}{2-i}+\frac{1}{3+i}=a+biとなる実数a,bを求めると，a=[ウ]，b=[エ]である．ただし，iは虚数単位とする．
(4)白玉4個と赤玉2個が入っている袋がある．この袋から同時に玉を3個とりだす・・・

　私立 立教大学 2012年 第1問

次の空欄ア～ケに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)(x-2y)8の展開式におけるx5y3の係数は[ア]である．
(2)∫02(x2-ax+2)dx=0の等式を満たす定数aの値は[イ]である．
(3)1から200までの整数で，3および7のいずれでも割りきれない数の個数は[ウ]個である．
(4)方程式5x+3y+z=15を満たす自然数x,y,zの組の個数は[エ]個である．
(5)原点Oから出発して数直線上を動く点Pがある．点Pは，サイコロを振って偶数の・・・