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次の空欄ア~シに当てはまる数または式を記入せよ.
(1)方程式x3-4x2+ax+b=0の1つの解が1-2iであるとき,実数解は[ア]であり,a=[イ],b=[ウ]である.ただし,定数a,bは実数とし,iは虚数単位とする.
(2)サイコロを続けて2回振り,最初に出た目がa,次に出た目がbならば座標平面上に直線ℓ:y=ax-bを描く.この試行において,直線ℓが放物線y=x2と相異なる2点で交わる確率は[エ]である.
(3)不等式x2+y2+6x+4y-12≦0の表す領域の面積は\ka・・・
私立 立教大学 2012年 第1問次の空欄ア~ケに当てはまる数または式を記入せよ.
(1)√2\div\sqrt[4]{4}×\sqrt[12]{32}\div\sqrt[6]{2}=2aとするとa=[ア]である.
(2)座標空間に4点O(0,0,0),A(3,2,1),B(1,3,5),C(x,y,z)がある.ベクトルベクトルOCは,ベクトルベクトルOAおよびベクトルベクトルOBと垂直である.このとき,(x,y,z)=[イ]である.ただし,x>0,|ベクトルOC|=1とする.
(3)iを虚数単位として,複素数x=√3+√7iを考・・・
私立 慶應義塾大学 2012年 第1問次の[]にあてはまる最も適当な数を記入せよ.
(1)20^{10}の正の約数は全部で[ア]個ある.
(2)2<loga900<6を満たすような2以上の自然数aは全部で[イ]個ある.
(3)整数の組(p,q)のうち,2次方程式x2-2px+13=0の解の1つがp+qiであるような組(p,q)は全部で[ウ]個ある.ただし,iは虚数単位とする.
(4)100以下の自然数mのうち,2次方程式x2-x-m=0の2つの解がともに整数であるようなmは全部で[エ]個ある.
(5)3次方程式x3-3x2・・・
私立 西南学院大学 2012年 第3問x3=1の解のうち,虚数であるものの1つを\omegaとするとき,以下の問に答えよ.
(1)\frac{1}{\omega}+\frac{1}{\omega2}+\frac{1}{[ナ]}=-2/3である.
(2)\omegaに共役な複素数を\overline{\omega}とするとき,(\overline{\omega}4+3\omega+1)(\omega4+\overline{\omega}+3)=[ニ]\omegaである.
(3)\omega+1および\overline{\omega}+1を解とするxの2次方程式の1つはx2+[ヌネ]x+[ノ]=0である.
私立 金沢工業大学 2012年 第3問方程式x2-2x+8=0の2つの虚数解をα,βとし,αの虚部はβの虚部より大きいとする.
(1)α=[ア]+\sqrt{[イ]}i,β=[ア]-\sqrt{[イ]}iである.ただし,iは虚数単位を表す.
(2)β/α=-\frac{[ウ]+\sqrt{[エ]}i}{[オ]}である.
(3)\frac{1}{α+2}+\frac{1}{β+2}=\frac{[カ]}{[キ]}である.
国立 防衛医科大学校 2011年 第1問以下の問に答えよ.
(1)a,b,cは正の整数で,a<b<c,a+b<cを満たすものとする.このとき整式ax2-(a2+ab)x+a2b-174がx-cで割り切れるような(a,b,c)の組があればすべて求めよ.
(2)α=1+√3i,β=1-√3iのとき
(\frac{β2-4β+8}{α^{n+2}-α^{n+1}+2αn+4α^{n-1}+α3-2α2+5α-2})3
はいくらか.ただし,nは2以上の自然数,iは虚数単位とする.
(3)y=cosx(0≦x≦π)の逆関数をy=f(x)とお・・・
国立 京都教育大学 2011年 第1問次の計算をせよ.ただし,iは虚数単位とする.
(1)(√3+i)3
(2)(√3+i)^{12}
国立 愛媛大学 2011年 第1問四面体OABCの辺OB,OC,AC,ABの中点をそれぞれP,Q,R,Sとする.また,ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとする.
(1)ベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて,ベクトルASとベクトルARを表せ.
(2)ベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて,ベクトルPQ,ベクトルPS,ベクトルSRを表せ.
(3)点O,A,B,Cの座標が実数tを用いて,それぞれ(・・・
私立 立教大学 2011年 第1問次の空欄ア~サに当てはまる数または式を記入せよ.
(1)2つの異なる2次方程式x2+3px+4=0,x2+3x+4p=0が共通の実数解を持つとき,pの値は[ア]である.ただし,p≠1とする.
(2)三角形ABCにおいて,BC=6,CA=4,cosC=1/3であるとき,sinAの値は[イ]である.
(3)不等式|2x|+|x-4|<6を解くと,[ウ]となる.
(4)実数x,yが(3+2i)x+(1-i)y+13+2i=0を満たすとき,x=[エ],y=[オ]である.・・・
私立 立教大学 2011年 第1問次の空欄アに①~④のいずれかを記入せよ.また空欄イ~スに当てはまる数または式を記入せよ.
(1)実数x,yに対して,x2+y2≦1は「-1≦x≦1かつ-1≦y≦1」であるための何条件かを,①「必要条件」,②「十分条件」,③「必要十分条件」,④「必要条件でも十分条件でもない」のうちから選択すると,[ア]となる.
(2)3x2-xy-2y2-x+6y+kが,x,yの整数係数の1次式の積に因数分解されるとき,k=[イ]である.・・・