「行列」について

　国立 茨城大学 2013年 第3問

θ=\frac{2π}{3}とし，A=(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})とおく．また，2次の単位行列をEで表す．以下の各問に答えよ．
(1)A3=Eを示せ．
(2)rを実数とする．自然数kに対して，行列(rA)^{3k}+(rA)^{3k+1}+(rA)^{3k+2}の(1,1)成分をakとおくとき，akをrを用いて表せ．
(3)自然数Nに対してxN=2Σ_{k=0}Nakとする．ただしakは，k≧1のときは(2)で定めたも・・・

　国立 大阪教育大学 2013年 第2問

直線y=mx(m≠0)をℓとし，行列(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})で表される平面上の1次変換fは次の二つの条件を満たすとする．
ℓの各点はfで動かない．
fは点A(1,0)を，Aを通りℓに平行な直線上の点に移す．
このとき，次の問いに答えよ．
(1)a,c,dをb,mを用いて表せ．
(2)ad-bcの値を求めよ．
(3)fにより平面上の任意の点Pは，Pを通りℓに平行・・・

　国立 山形大学 2013年 第4問

行列
A=(\begin{array}{cc}
3/2&-1\
1&-1/2
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
p&-2\
1&q
\end{array}),J=(\begin{array}{cc}
1/2&1\
0&1/2
\end{array})
がAB=BJを満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，p,qは定数であり，以下で用いるnは自然数である．
(1)p,qの値を求めよ．
(2)Jn=\frac{1}{2n}(\・・・

　国立 山形大学 2013年 第4問

自然数nに対し，座標平面上の点(n,1)をPnとする．また，rを正の実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)1次変換fは，すべてのnに対してf(Pn)=P_{n+1}を満たすとする．fを表す行列Aを求めよ．
(2)1次変換gは，点(1,1)を点(-2r,1)に，点(-2r,1)を点(2r2-r,1)に移すとする．gを表す行列Bを求めよ．
(3)C=ABA^{-1}とする．行列Cnを推定し，それが正しいことを数学的帰納法によって示せ．
(4)行列Cnで表される1次変換による点(1,r)・・・

　国立 東京農工大学 2013年 第1問

aを実数とする．行列
A=(\begin{array}{cc}
a&3\
-2&-1
\end{array}),P=(\begin{array}{cc}
1&3\
-1&-2
\end{array})
について，次の問いに答えよ．
(1)P^{-1}APの(1,2)成分と(2,1)成分が等しくなるようなaの値を求めよ．
(2)aを(1)で求めた値とするとき，自然数nに対してAnを求めよ．
(3)aを(1)で求めた値とするとき，Anが表す1次変換によって，xy平面上の2点Q(1,-1)とR(0,2)とが移る2点を通る直線を・・・

　国立 琉球大学 2013年 第4問

mを正の定数とする．次の問いに答えよ．
(1)xy平面上に2点O(0,0)，P(1,m)がある．このとき2点Q，Rの座標を，△OPQ，△OPRがともに正三角形となるように定めよ．ただし，点Qはxy平面上のy＞mxとなる領域に，点Rはxy平面上のy＜mxとなる領域に定めよ．
(2)(1)で定めた3点P，Q，Rについて，一次変換fは点Pを同じ点Pに，点Qを点Rに移すものとする．この・・・

　国立 群馬大学 2013年 第7問

自然数nについて，0以上n以下の整数x,yを座標にもつ点(x,y)全体の集合をXnとする．行列(\begin{array}{cc}
1&1\
2&-1
\end{array})の表す一次変換によるXnの点の像全体の集合をYnとする．
(1)点(187,110)はY_{100}に含まれるかどうか理由をつけて述べよ．
(2)X5とY5の共通部分X5∩Y5の点の個数を求めよ．

　国立 群馬大学 2013年 第14問

自然数nについて，0以上n以下の整数x,yを座標にもつ点(x,y)全体の集合をXnとする．行列(\begin{array}{cc}
1&1\
2&-1
\end{array})の表す一次変換によるXnの点の像全体の集合をYnとする．XnとYnの共通部分Xn∩Ynの点の個数をanとする．
(1)点(187,110)はY_{100}に含まれるかどうか理由をつけて述べよ．
(2)a5を求めよ．
(3)自然数mについて，a_{6m}をmを用いて表せ．

　国立 山形大学 2013年 第4問

自然数nに対し，座標平面上の点(n,1)をPnとする．また，rを正の実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)1次変換fは，すべてのnに対してf(Pn)=P_{n+1}を満たすとする．fを表す行列Aを求めよ．
(2)1次変換gは，点(1,1)を点(-2r,1)に，点(-2r,1)を点(2r2-r,1)に移すとする．gを表す行列Bを求めよ．
(3)C=ABA^{-1}とする．行列Cnを推定し，それが正しいことを数学的帰納法によって示せ．
(4)行列Cnで表される1次変換による点(1,r)・・・

　国立 滋賀医科大学 2013年 第3問

実数aに対し，行列X(a)を
X(a)=\frac{1}{a2+1}(\begin{array}{cc}
2a2+1&-a\
-a&a2+2
\end{array})
と定める．
(1)ベクトル(\begin{array}{c}
x0\
y0
\end{array})を考える．ベクトル(\begin{array}{c}
x0\
y0
\end{array})，X(a)(\begin{array}{c}
x0\
y0
\end{array})の大きさをそれぞれl0,l1とおく．このとき
l0≦l1
を示せ．ただしベクトル(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array}\r・・・