「行列」について

　国立 金沢大学 2014年 第3問

行列
P=(\begin{array}{cc}
x&\frac{√2}{3}\
\frac{√2}{3}&y
\end{array})
について，次の問いに答えよ．
(1)P2=Pをみたす実数の組(x,y)は2組ある．これらを求めよ．
(2)(1)で求めた2つの組を(x1,y1)，(x2,y2)とし，それぞれに対応する行列PをP1，P2とおく．ただし，x1＜x2とする．このとき，n=1,2,3,・・・に対し
(P1P2)nP1=rnP1
をみたす実数rnを求めよ．
(3)重複を許してP1，P_・・・

　国立 名古屋工業大学 2014年 第3問

実数a,b,c,dについて
(a-d)2+4bc=0
が成立している．このとき行列
E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array}),A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array}),B=A-\frac{a+d}{2}E
について，以下の問いに答えよ．ただしA≠\frac{a+d}{2}Eとする．
(1)行列B2を求めよ．
(2)自然数nに対して
An=pA+qE
となる実数p,qをnとa,b,c,dで表せ．
(3)行列Aが次をみたすとき，Aを求めよ．
A5・・・

　国立 岩手大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=-2sin2x+2cos2x+3の最大値と最小値を求めよ．ただし，0≦x≦π/2とする．
(2)\lim_{x→1}\frac{a\sqrt{x+3}-8}{x-1}が有限な値になるように定数aの値を定め，そのときの極限値を求めよ．
(3)直線y=xに関する対称移動の1次変換をfとする．1次変換gが点(2,4)を点(4,6)に移し，合成変換f\circgが点(2,2)を点(-12,4)に移すとき，gを表す行列を求めよ．
(4)次の不定積分を求めよ．
\i・・・

　国立 長岡技術科学大学 2014年 第2問

Aを2次の正方行列とし，Oを2次の零行列，Eを2次の単位行列とする．P=A-Eとおいたとき，P2=Oが成り立っているとする．下の問いに答えなさい．
(1)等式A2=2P+EとA3=3P+Eを示しなさい．
(2)自然数nに対してAnをPとEで表しなさい．
(3)A=(\begin{array}{cc}
2&1\
-1&0
\end{array})のとき，自然数nに対してAnを求めなさい．

　国立 佐賀大学 2014年 第3問

行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
b&c
\end{array})に対して，ベクトルベクトルu=(p,q)，ベクトルv=(r,s)は
|ベクトルu|=|ベクトルv|=1,A(\begin{array}{c}
p\
q
\end{array})=α(\begin{array}{c}
p\
q
\end{array}),A(\begin{array}{c}
r\
s
\end{array})=β(\begin{array}{c}
r\
s
\end{array})
を満たすとする．ただし，α,βは相異なる実数である．このとき，次の問に答えよ．
\begi・・・

　国立 琉球大学 2014年 第2問

a,b,c,dはa+d=0，ad-bc=1をみたす実数とし，A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})，E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})とする．次の問いに答えよ．
(1)A2=-Eを示せ．
(2)p,qは実数でp2+q2≠0をみたすとする．実数x,yに対して(pA+qE)(xA+yE)=Eが成り立つとき，x,yをp,qで表せ．
(3)θを実数とする．すべての正の整数nに対して
{(cosθ)E+(sinθ)A}n=(cosnθ)E+(sinn\the・・・

　国立 鹿児島大学 2014年 第5問

次の各問いに答えよ．
(1)座標平面上での原点を中心とする{150}°の回転移動を表す行列をPとする．点(x,y)がPの表す移動によって，点(2,4)に移ったとする．このとき，点(x,y)を求めよ．
(2)(1)で与えられた行列Pを考える．Pn=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})を満たす最小の自然数nを求めよ．
(3)以下の各命題の反例をあげよ．また，反例になっていることを示せ．ただし，X,Yは2次の正方行列とする．
(i)XY=Y・・・

　国立 弘前大学 2014年 第3問

行列A=(\begin{array}{cc}
2&-2\
-1&3
\end{array}),E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})について，次の問いに答えよ．
(1)4P+Q=AとP+Q=Eを満たす2次正方行列P,Qを求めよ．
(2)(1)で求めたP,Qに対して，PQ,QPを求めよ．
(3)自然数nに対して，Anを求めよ．
(4)Anの逆行列をBn=(\begin{array}{cc}
an&bn\
cn&dn
\end{array})とする．極限値\lim_{n→∞}an，・・・

　国立 豊橋技術科学大学 2014年 第1問

行列A=(\begin{array}{cc}
0&a\
1&-1
\end{array})，E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})，O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})がA2+A+E=Oの関係を満足しているとき，次の問いに答えよ．ただし，aは実数とする．
(1)aの値を求めよ．
(2)A3を，(1)で求めたaの値を用いて求めよ．
(3)E+A+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8+A9+A^{10}を，(1)で求めたaの値を用いて求めよ．
(4)Aの逆行列A^{-1}を，(1)・・・

　国立 三重大学 2014年 第2問

以下の問いに答えよ．ただし，Eは単位行列である．
(1)行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})に対して|A|=ad-bcとおく．たとえば，A=(\begin{array}{cc}
1&2\
3&4
\end{array})のときは，|A|=1×4-2×3=-2である．A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})とB=(\begin{array}{cc}
p&q\
r&s
\end{array})に対して|AB|=|A|×|B|が成り立つことを示せ．
(2)・・・