「行列」について

　国立 三重大学 2014年 第2問

以下の問いに答えよ．ただし，Eは単位行列である．
(1)行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})に対して|A|=ad-bcとおく．たとえば，A=(\begin{array}{cc}
1&2\
3&4
\end{array})のときは，|A|=1×4-2×3=-2である．A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})とB=(\begin{array}{cc}
p&q\
r&s
\end{array})に対して|AB|=|A|×|B|が成り立つことを示せ．
(2)・・・

　国立 九州工業大学 2014年 第2問

座標平面において，行列A=(\begin{array}{cc}
1/2&2/3\
1/4&2/3
\end{array})が表す移動（1次変換）をfとし，直線x+2y=1をℓとする．次に答えよ．
(1)点P(p1,p2)がfによって移る点をQ(q1,q2)とする．Pがℓ上の点のとき，Qはℓ上にあることを示せ．
(2)ℓ上の点RはfによってR自身に移る．
\mon[\to・・・

　国立 徳島大学 2014年 第4問

x0=1，y0=0とする．nが自然数のとき，座標平面上の点P_{n-1}(x_{n-1},y_{n-1})は行列(\begin{array}{cc}
1/2&-2/3\
2/3&1/2
\end{array})の表す1次変換によって点Pn(xn,yn)に移されるとする．点P_{n-1}と点Pnの距離をlnとする．
（プレビューでは図は省略します）
(1)l1を求めよ．
(2)lnをx_{n-1},y_{n-1}の式で表せ．
(3)\frac{l・・・

　国立 岐阜大学 2014年 第4問

行列I,J,OをそれぞれI=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})，J=(\begin{array}{cc}
0&-1\
1&0
\end{array})，O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})とする．また，実数a,bを用いてaI+bJと表される行列全体の集合をUとおく．行列A,BがUに属するとき，以下の問に答えよ．
(1)ABはUに属することを示せ．
(2)AB=BAであることを示せ．
(3)AB=Oと仮定する．このときA=OまたはB=Oであることを示せ．
\m・・・

　国立 山梨大学 2014年 第2問

実数を成分とする2次正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})が，実数kに対し，A2-kA=(k-3)Eを満たすとする．ただし，Eは2次の単位行列である．
(1)b≠0またはc≠0のとき，a+dおよびad-bcをkを用いた式で表せ．
(2)実数kがA(\begin{array}{c}
1\
k
\end{array})=(\begin{array}{c}
1\
k
\end{array})を満たすとき，kの値を求めよ．
(3)kを定数として，bcが最大となるようなa,dとそのときのbcを・・・

　国立 山形大学 2014年 第3問

行列A=(\begin{array}{cc}
-1&-6\
8&13
\end{array})，B=(\begin{array}{cc}
5&0\
0&a
\end{array})，P=(\begin{array}{cc}
1&b\
-1&4
\end{array})が等式AP=PBを満たしている．次の問いに答えよ．ただし，a,bは実数で，b≠-4とする．
(1)行列Pの逆行列をbを用いて表せ．
(2)a,bの値を求めよ．
(3)自然数nに対して，Anを求めよ．

　国立 山形大学 2014年 第4問

座標平面上の1次変換fは点(1,2)を点(1/2-√3,1+\frac{√3}{2})に，点(3,4)を点(3/2-2√3,2+\frac{3√3}{2})に移すとする．Oを原点として，次の問に答えよ．
(1)1次変換fを表す行列Aを求めよ．
(2)点P(1,0)がfにより点Qに移るとき，∠POQを求めよ．また線分OQの長さを求めよ．
(3)点Rを(2cosθ,2sinθ)で定める\・・・

　国立 徳島大学 2014年 第1問

A=(\begin{array}{cc}
3/4&1/2\
1/4&1/2
\end{array})とし，行列Aで表される1次変換をfとする．fによって点P(0,1)が点P1(x1,y1)に移されるとする．さらに，n=1,2,3,・・・に対して，点Pn(xn,yn)がfによって点P_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})に移されるとする．
(1)すべての自然数nについて，点Pnは直線x+y=1上にあることを証明せよ・・・

　国立 香川大学 2014年 第2問

行列A=(\begin{array}{cc}
0&-1\
2&3
\end{array})について，次の問に答えよ．ただし，E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})とする．
(1)A2-3A+2Eを求めよ．
(2)自然数nに対して，E+A+A2+・・・+An=anA+bnEとなる実数an，bnをそれぞれnを用いて表せ．

　国立 九州工業大学 2014年 第2問

A+B=E，AB=Oをみたす2×2行列A,Bを考える．ただし，Eは単位行列，Oは零行列である．以下の問いに答えよ．
(1)A2=A，B2=B，BA=Oとなることを示せ．
(2)(A+αB)n=A+knBをみたす実数knを推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，αは実数であり，nは自然数である．
(3)A+αB=(\begin{array}{cc}
-1&-3\
2&4
\end{array})であるとき，A,Bと実数αを求めよ．