「行列」について

　公立 高知工科大学 2010年 第4問

rとθを-1＜r＜1,0≦θ＜2πを満たす定数とする．行列A=r(\begin{array}{rr}
cosθ&-sinθ\\
sinθ&cosθ
\end{array})，E=(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array})に対して，次の各問に答えよ．
(1)行列E-Aは逆行列を持つことを証明し，(E-A)^{-1}を求めよ．
(2)全ての自然数nについて
An=rn(\begin{array}{rr}
cosnθ&-sinnθ\\
sinnθ&cosnθ
\end{array})・・・

　公立 公立はこだて未来大学 2010年 第7問

行列
A=(\begin{array}{cc}
1&-1\
a&0
\end{array})について，以下の問いに答えよ．ただし，a＞0とする．
(1)Aの逆行列を求めよ．
(2)Aの表す1次変換によって，双曲線y=\frac{1}{x-1}上のある点が，点(-1,1)に移されるとする．このとき，aの値を求めよ．

　公立 会津大学 2010年 第2問

2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&3b\
0&b
\end{array})，B=(\begin{array}{cc}
a&b\
0&b
\end{array})に対して以下の問いに答えよ．ただし，nを自然数とし，a≠0,b≠0とする．
(1)AB^{-1}を求めよ．
(2)(AB^{-1})nを求めよ．
(3)P(AB^{-1})n=(\begin{array}{cc}
8&3\
1&2
\end{array})が成り立つとき，行列Pを求めよ．

　公立 富山県立大学 2010年 第4問

A,B,Cが同じ次数の正方行列で，A+B+C=OかつAB=BC=CAが成り立つとき，次の等式を証明せよ．ただし，Oは零行列である．
(1)A2=B2=C2
(2)BA=CB=AC
(3)ABC=CBA

　公立 横浜市立大学 2010年 第3問

nは自然数とする．1以上の実数a,dと正の実数b,cを成分とする行列
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})
に対し，n個の積Anを
An=(\begin{array}{cc}
an&bn\
cn&dn
\end{array}),A1=A
とおく．また，0＜v≦uをみたす実数u,vと正の実数\lambdaに対して，Aは等式
A(\begin{array}{c}
u\
v
\end{array})=\lambda(\begin{array}{c}
u\
v
\end{array})
をみたすとする．以下の問いに答えよ・・・