「行列」について

　国立 宇都宮大学 2014年 第5問

α≠0，β≠0として，関数fn(x)(n=1,2,・・・)を
\begin{array}{l}
f1(x)=a1sinαx+b1cosαx\
f_{n+1}(x)=β(fn(x)+{fn}´(x))\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}
と定める．ただし，a1，b1，α，βは実数である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)fn(x)はfn(x)=ansinαx+bncosαx（an,bnは実数）の形で表されることを示せ．
(2)(1)におけるan,bn(n=1,2,\・・・

　国立 お茶の水女子大学 2014年 第1問

実数a,b,c,dに対して，2次正方行列A,Oを次で定める．
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array}),O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})
(1)行列Aがad-bc=0を満たすとき，
A=(\begin{array}{c}
p\
q
\end{array})(\begin{array}{cc}
r&s
\end{array})
となるような実数p,q,r,sが存在することを示せ．
(2)ある2次正方行列X,Yに対してXA≠O，AY≠O，XAY=Oが成・・・

　国立 お茶の水女子大学 2014年 第1問

実数a,b,c,dに対して，2次正方行列A,Oを次で定める．
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array}),O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})
(1)行列Aがad-bc=0を満たすとき，
A=(\begin{array}{c}
p\
q
\end{array})(\begin{array}{cc}
r&s
\end{array})
となるような実数p,q,r,sが存在することを示せ．
(2)ある2次正方行列X,Yに対してXA≠O，AY≠O，XAY=Oが成・・・

　国立 和歌山大学 2014年 第5問

次の条件を満たす2次正方行列A,Bがある．
A2=E,B2=-E,AB+BA=O
ただし，Eは単位行列，Oは零行列である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)次の(i)，(ii)，(iii)が成り立つことを示せ．
(i)(A+B+AB)2=E\qquad(ii)A+B≠O\qquad(iii)AB≠E
(2)(A+B)C=Oとなる零行列でない2次正方行列Cが存在することを示せ．

　国立 鳥取大学 2014年 第2問

実数a,b,θに対して，行列A,Rを以下のように定める．
A=(\begin{array}{cc}
a&-b\
b&a
\end{array}),R=(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})
またxy平面内の相異なる2点P0(px,py)およびQ0(qx,qy)を考える．0以上の整数nに対し，行列Anの表す1次変換による点P0，Q0の像をそれぞれPn，Qnとし，2点Pn，Qn間の距離をDn・・・

　国立 鳥取大学 2014年 第2問

実数a,b,θに対して，行列A,Rを以下のように定める．
A=(\begin{array}{cc}
a&-b\
b&a
\end{array}),R=(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})
またxy平面内の相異なる2点P0(px,py)およびQ0(qx,qy)を考える．0以上の整数nに対し，行列Anの表す1次変換による点P0，Q0の像をそれぞれPn，Qnとし，2点Pn，Qn間の距離をDn・・・

　国立 東京農工大学 2014年 第2問

a,bを実数とする．行列A=(\begin{array}{cc}
4&3\
a&b
\end{array})，B=(\begin{array}{cc}
a&b\
b&-a
\end{array})が
AB=(\begin{array}{cc}
10&5\
5&0
\end{array})
を満たしている．次の問いに答えよ．
(1)a,bの値を求めよ．ただし答えのみでよい．
(2)m,nは実数で，m≠0，n≠0とする．座標平面上の2点S1(m,0)，S2(0,n)をとり，行列Aが表す1次変換によってS1，S2が移る点を・・・

　国立 電気通信大学 2014年 第4問

行列A=(\begin{array}{cc}
3&1\
-1&1
\end{array})について，以下の問いに答えよ．
(1)A(\begin{array}{c}
1\
a
\end{array})=k(\begin{array}{c}
1\
a
\end{array})を満たす実数a,kの値を求めよ．
(2)行列P=(\begin{array}{cc}
1&p\
q&0
\end{array})がAP=P(\begin{array}{cc}
r&1\
0&r
\end{array})を満たすとき，実数p,q,rの値を求めよ．
(3)自然数nに対して，行列B=(\begin・・・

　私立 産業医科大学 2014年 第1問

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)実数xの関数f(x)=|sin2x+2sinx+2cosx|の最大値は[ア]である．
(2)行列A=(\begin{array}{cc}
cosθ&-2sinθ\
1/2sinθ&cosθ
\end{array})が0＜θ＜πの範囲でA5=A2を満たすとき，実数θの値は[イ]である．
(3)定積分∫0^{-1}\frac{x2-1}{x2+1}dxの値は[ウ]である．
(4)nをある自然数とする・・・

　私立 産業医科大学 2014年 第2問

行列A=1/3(\begin{array}{cc}
2&1\
1&2
\end{array})について，次の問いに答えなさい．
(1)自然数nについて，(\begin{array}{c}
pn\
qn
\end{array})=An(\begin{array}{c}
√2\
√3
\end{array})とするとき，極限\lim_{n→∞}(pnqn)を求めなさい．
(2)行列Aで表される1次変換によってそれ自身へ移される直線をすべて求めなさい．