「行列」について

　私立 京都産業大学 2014年 第2問

以下の[]にあてはまる式または数値を記入せよ．
行列A=(\begin{array}{cc}
2&0\
1&3
\end{array})のn乗をAn=(\begin{array}{cc}
an&0\
bn&cn
\end{array})とおく．ただし，nは自然数とする．
(1)a2=[ア]，b2=[イ]，c2=[ウ]である．
(2)a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1}をそれぞれan,bn,cnを用いて表すと，a_{n+1}=[エ]，b_{n+1}=[オ]，c_{n+1}=[カ]である．
(3)cn・・・

　私立 金沢工業大学 2014年 第2問

行列A,Bを
A=(\begin{array}{cc}
1&2\
2&9
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
x&y\
y&z
\end{array})
とする．ただし，x,y,zは実数である．
(1)AB=BAであるとき，z=x+[サ]yである．
(2)BがAの逆行列ならば，x=\frac{[シ]}{[ス]}，y=\frac{[セソ]}{[タ]}である．

　私立 南山大学 2014年 第1問

[]の中に答を入れよ．
(1)行列A=(\begin{array}{cc}
a&2b\
-b&a
\end{array})の表す1次変換によって，点(3,1)が点(7,-5)に移され，点(p,q)が点(4,1)に移される．aとbの値を求めると(a,b)=[ア]であり，pとqの値を求めると(p,q)=[イ]である．
(2)3辺の長さがそれぞれ1,x,2-x(1/2＜x＜3/2)の三角形がある．この三角形の面積Sをxで表すとS=[ウ]であり，S・・・

　私立 青山学院大学 2014年 第5問

行列A,E,Oを
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array}),E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array}),O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})
で定め，行列Aの表す1次変換をfとする．また，行列A-Eの逆行列が存在しないとする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)等式A2-(a+d)A+(a+d-1)E=Oが成り立つことを示せ．
(2)点Pを平面上の任意の点とする．1次変換fによる点Pの像をQ・・・

　私立 早稲田大学 2014年 第5問

行列A=(\begin{array}{cc}
7&10\
-3&-4
\end{array})について，次の問に答えよ．
(1)P=(\begin{array}{cc}
-2&5\
1&-3
\end{array})のとき，P^{-1}AP=(\begin{array}{cc}
[ス]&0\
0&[セ]
\end{array})である．
(2)An=(\begin{array}{cc}
[ソ]・2n+[タ]&[チ]・2n+[ツ]\
[テ]・2n+[ト]&[ナ]・2n+[ニ]
\end{array})である．
\end{・・・

　私立 昭和大学 2014年 第3問

次の各問に答えよ．
(1)1から8までの数字を1つずつ記した8個の球が袋の中に入っている．この袋から1個の球を取り出し，その数字を読み取ってはもとの袋に戻す操作を3回繰り返す．ただし，どの球が選ばれる確率も同じであるとする．いま，読み取った3個の数字のうち最大の数と最小の数の差をRとする．次の問に答えよ．
(1-1)R=1となる確率を求めよ．
(1-2)R=4となる確率を求めよ．
(1-3)Rの期待値を求めよ．
(2)xについての2次方程式x2+(\lo・・・

　私立 北里大学 2014年 第2問

行列A=(\begin{array}{cc}
1/3&7\
0&3
\end{array})に対し，
An=(\begin{array}{cc}
an&bn\
cn&dn
\end{array}),An(\begin{array}{c}
2\
5
\end{array})=(\begin{array}{c}
pn\
qn
\end{array})(n=1,2,3,・・・)
とおく．以下の問に答えよ．
(1)b_{n+1}=b1an+d1bn,b_{n+1}=a1bn+b1dn(n=1,2,3,・・・)が成り立つことを示せ．
(2)An(n=1,2,・・・

　私立 聖マリアンナ医科大学 2014年 第2問

a,b,c,dを実数とし，行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})とする．また，行列E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})とする．以下の設問の[]に適切な数値を答えなさい．
(1)a=3かつA2=(\begin{array}{cc}
11&10\
5&6
\end{array})のとき，b=[1]，c=[2]，d=[3]である．このとき，A2をAとEを用いて表すと，
A2=[4]A+[5]E
と表すことができる．ま・・・

　私立 獨協医科大学 2014年 第4問

行列A=r(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})で表される1次変換fについて考える．点P0の座標を(1,0)とし，nを正の整数とするとき，fによって点P_{n-1}が移される点をPnとする．また，Σ_{k=0}^{n-1}\overrightarrow{OPk}=\overrightarrow{OQn}となる点Qnの座標を(xn,yn)とし，n→∞のときにxn,ynがともに収束する場合の点Qnの極限値\・・・

　公立 大阪市立大学 2014年 第3問

1次変換fは点(1,3)を点(3,5)へ，点(1,-1)を点(1,-1)へ移すとする．fを表す行列をAとするとき，次の問いに答えよ．
(1)Aを求めよ．
(2)A2,A3を求めよ．
(3)自然数nに対してAnを推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ．