「行列」について

　公立 岡山県立大学 2014年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})と単位行列E，零行列Oに対して，等式
A2-(a+d)A+(ad-bc)E=O
が成り立つことを示せ．
(2)行列B=(\begin{array}{cc}
1&√3+1\
√3-1&2
\end{array})と自然数nに対して，
B+2B2+3B3+・・・+nBn=bnB
を満たす実数bnを求めよ．

　公立 大阪府立大学 2014年 第3問

a,bを定数とし，2次の正方行列A,X,Yは
A=aX+bY,X+Y=E,XY=O
をみたすとする．ここで，EとOはそれぞれ2次の単位行列と零行列を表す．このとき，X+Y=Eの両辺に左からXを掛けるとX2=Xが成り立つことがわかる．
(1)Y2=Y,YX=Oが成り立つことを示せ．
(2)AがEの定数倍ではないとき，A-aEとA-bEはともに逆行列をもたないことを示せ．
(3)A=(\begin{array}{cc}
-1&2\
6&3
\end{array})のとき，a,b(a＜b)およびX,Yを求めよ．
\end{・・・

　公立 公立はこだて未来大学 2014年 第6問

行列A=(\begin{array}{cc}
3&2\
-2&-1
\end{array})，E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})について，以下の問いに答えよ．ただし，nを正の整数，A1=Aとする．
(1)等式A(A-E)=A-Eが成り立つことを示せ．
(2)A^{n+1}-Anを求めよ．
(3)Anを求めよ．

　公立 滋賀県立大学 2014年 第3問

2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})（a,b,c,dは実数とする）に対して，2次方程式x2-(a+d)x+ad-bc=0は相異なる2つの実数解α,βをもつとする．いま，
P=\frac{1}{α-β}(A-βE),Q=\frac{1}{β-α}(A-αE)
とおく．ただし，Eは2次の単位行列である．
(1)PQ=QP=Oが成り立つことを示せ．ただし，Oは2次の零行列である．
(2)P+Q=E,P2=PおよびQ2=Qが成り立つことを示せ．
(3)A=αP+\・・・

　公立 兵庫県立大学 2014年 第4問

行列(\begin{array}{cc}
3&-1\
4&-1
\end{array})で表される移動によって点Aは点A´に，点Bは点B´に移るとする．Oを原点とする．OA=1，A=A´であって，かつ四角形OAB´Bが長方形のとき，点A，点Bの座標を求めよ．

　公立 富山県立大学 2014年 第4問

αは実数とする．行列A=(\begin{array}{cc}
1&-√3\
√3&1
\end{array})，B=(\begin{array}{cc}
cosα&-sinα\
sinα&cosα
\end{array})について，次の問いに答えよ．
(1)A=r(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})と表すとき，r,θの値を求めよ．ただし，r＞0，0＜θ＜πとする．
(2)Bn=(\begin{array}{cc}
cosnα&-\・・・

　公立 会津大学 2014年 第2問

Eを2次の単位行列，Oを2次の零行列とする．正の実数aに対して，行列A=(\begin{array}{cc}
1&-a\
a&1
\end{array})が
A2-2A+4E=O
をみたすとき，以下の問いに答えよ．
(1)aを求めよ．
(2)A3を求めよ．
(3)A8を求めよ．

　公立 横浜市立大学 2014年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)a,b,cを相異なる実数とする．x,y,zに関する連立3元1次方程式
{\begin{array}{l}
x-ay+a2z=a4\
x-by+b2z=b4\
x-cy+c2z=c4
\end{array}.
を解きたい．その解を基本対称式
\begin{array}{l}
A=a+b+c\
B=ab+bc+ca\
C=abc
\end{array}
を用いて表せ．
(2)平面上に3点A(2,3)，B(1,2)，C(3,1)をとる．このとき，三角形ABCの内心を求めよ．
(3)行列Aを
\setstretch{2.5}
A=(\b・・・

　国立 横浜国立大学 2013年 第2問

行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})はA2=Aを満たす．行列Bは
B(\begin{array}{c}
1\
0
\end{array})=(\begin{array}{c}
a\
1
\end{array}),B2(\begin{array}{c}
1\
0
\end{array})=(\begin{array}{c}
0\
0
\end{array})
を満たす．次の問いに答えよ．
(1)a+d,ad-bcを求めよ．
(2)Bをaを用いて表せ．
(3)c=1のとき，実数s,tに対して
(sA+tB)n=xnA+ynB(n・・・

　国立 北海道大学 2013年 第2問

座標平面上で，直線y=xに関する対称移動をfとし，実数cに対して，直線y=cxに関する対称移動をgとする．また，原点を中心とする120°の回転移動をhとする．
(1)fを表す行列，およびhを表す行列を求めよ．
(2)gを表す行列を求めよ．
(3)合成変換f\circgがhになるようにcの値を定めよ．