「複素数」について

　国立 福井大学 2012年 第1問

nを自然数とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)二項定理を用いて，Σ_{k=0}n\comb{n}{k}=\comb{n}{0}+\comb{n}{1}+・・・+\comb{n}{n-1}+\comb{n}{n}の値が2nに等しいことを示せ．
(2)複素数zがz2-2z+2=0をみたすとき，zおよびz^{4n}の値を求めよ．
(3)Σ_{k=0}^{2n}(-1)k・\comb{4n}{2k}=\comb{4n}{0}-\comb{4n}{2}+・・・-\comb{4n}{4n-2}+\comb{4n}{4n}の値が(-4)nに等しいことを示せ．

　私立 早稲田大学 2012年 第1問

以下の問に答えよ．
(1)複素数α,βに対してαβ=0ならば，α=0またはβ=0であることを示せ．
(2)複素数αに対してα2が正の実数ならば，αは実数であることを示せ．
(3)複素数α1,α2,・・・,α_{2n+1}（nは自然数）に対して，α1α2,・・・,αkα_{k+1},・・・,α_{2n}α_{2n+1}およびα_{2n+1}α1がすべて正の実数であるとする．このとき，α1,α2,・・・,α_{2n+1}はすべて実数であ・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第1問

次の文章中の[ア]から[ラ]までに当てはまる数字0～9を求めて記入せよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．
(1)数列{an},{bn}(n=1,2,3,・・・)は次の関係式を満たすとする．
a1=0,{\begin{array}{l}
bn=1/5an+1\
a_{n+1}=3bn+2
\end{array}.(n=1,2,3,・・・)
このとき，b1=[ア]で，n\geq1に対してb_{n+1}=\frac{[イ]}{[ウ]}bn+\frac{[エ]}{\・・・

　私立 立教大学 2012年 第1問

次の空欄ア～ケに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)(x-2y)8の展開式におけるx5y3の係数は[ア]である．
(2)∫02(x2-ax+2)dx=0の等式を満たす定数aの値は[イ]である．
(3)1から200までの整数で，3および7のいずれでも割りきれない数の個数は[ウ]個である．
(4)方程式5x+3y+z=15を満たす自然数x,y,zの組の個数は[エ]個である．
(5)原点Oから出発して数直線上を動く点Pがある．点Pは，サイコロを振って偶数の・・・

　私立 立教大学 2012年 第1問

次の空欄ア～ケに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)√2\div\sqrt[4]{4}×\sqrt[12]{32}\div\sqrt[6]{2}=2aとするとa=[ア]である．
(2)座標空間に4点O(0,0,0)，A(3,2,1)，B(1,3,5)，C(x,y,z)がある．ベクトルベクトルOCは，ベクトルベクトルOAおよびベクトルベクトルOBと垂直である．このとき，(x,y,z)=[イ]である．ただし，x＞0，|ベクトルOC|=1とする．
(3)iを虚数単位として，複素数x=√3+√7iを考・・・

　国立 岩手大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)複素数\frac{2+i}{(1+3i)(4-i)}の虚部を求めよ．
(2)関数f(x)=∫0x\frac{6}{t2+7t+10}dtについて\lim_{x→∞}f(x)を求めよ．
(3)30階建てのビルの11階にある人物Aがいる．Aは硬貨を投げて，表が出れば1階上へ，裏が出れば1階下へ移動する．硬貨を10回投げた後，Aが6階より下の階にいる確率を求めよ．

　国立 東北大学 2011年 第5問

aを実数，zを0でない複素数とする．zと共役な複素数を\overline{z}で表す．
(1)次を満たすzを求めよ．
z-1-a/z=0
(2)次を満たすzが存在するようなaの範囲を求めよ．
\overline{z}+1-a/z=0
(3)次を満たすzが存在するようなaの範囲を求めよ．
z(\overline{z})2+\overline{z}-a/z=0

　公立 福岡女子大学 2011年 第1問

2次方程式x2+ax+b=0は2つの複素数解α+iβとα-iβを持ち，αとβは実数で，β＞0とする．ただし，iは虚数単位である．次の問に答えなさい．
(1)αとβをaとbを用いて表しなさい．
(2)α=βであるとき，2次関数y=x2+ax+bのグラフと，この放物線の軸，x軸，y軸とで囲まれる部分の面積をαを用いて表しなさい．

　公立 福岡女子大学 2011年 第1問

2次方程式x2+ax+b=0は2つの複素数解α+iβとα-iβを持ち，αとβは実数で，β＞0とする．ただし，iは虚数単位である．次の問に答えなさい．
(1)αとβをaとbを用いて表しなさい．
(2)α=βであるとき，2次関数y=x2+ax+bのグラフと，この放物線の軸，x軸，y軸とで囲まれる部分の面積をαを用いて表しなさい．

　国立 信州大学 2010年 第4問

実数a,bは等式
x4+x3+x2+x+1=(x2+ax+1)(x2+bx+1)
を満たすものとする．次の問に答えよ．
(1)a+b,abを求めよ．
(2)複素数αが2次方程式x2+ax+1=0の解ならば，1/αもこの方程式の解であることを示せ．
(3)2次方程式x2+bx+1=0の解は，(2)のαを用いてα2,\frac{1}{α2}と表されることを示せ．